Страница 102 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

398. Найдите значение выражения:

1) $0,15\sqrt{3600} - 0,18\sqrt{400} + (10\sqrt{0,08})^2$;

2) $\frac{95}{\sqrt{361}} - \frac{13}{14}\sqrt{1\frac{27}{169}} + \sqrt{8^2 + 15^2}$;

3) $(-8\sqrt{\frac{1}{4}} + \frac{\sqrt{1,44}}{3} \cdot \sqrt{12,25}) : (0,1\sqrt{13})^2$.

1) $0,15\sqrt{3600} - 0,18\sqrt{400} + (10\sqrt{0,08})^2$

Решим по действиям, вычисляя значение каждого члена выражения:

1. Найдем значение первого члена: $0,15\sqrt{3600}$.
$\sqrt{3600} = \sqrt{36 \cdot 100} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{100} = 6 \cdot 10 = 60$.
$0,15 \cdot 60 = 9$.

2. Найдем значение второго члена: $0,18\sqrt{400}$.
$\sqrt{400} = \sqrt{4 \cdot 100} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{100} = 2 \cdot 10 = 20$.
$0,18 \cdot 20 = 3,6$.

3. Найдем значение третьего члена: $(10\sqrt{0,08})^2$.
Используя свойство степени $(ab)^n = a^n b^n$, получаем:
$(10\sqrt{0,08})^2 = 10^2 \cdot (\sqrt{0,08})^2 = 100 \cdot 0,08 = 8$.

4. Подставим полученные значения в исходное выражение:
$9 - 3,6 + 8 = 5,4 + 8 = 13,4$.

Ответ: 13,4

2) $\frac{95}{\sqrt{361}} - \frac{13}{14}\sqrt{1\frac{27}{169}} + \sqrt{8^2 + 15^2}$

Решим по действиям:

1. Вычислим первое слагаемое: $\frac{95}{\sqrt{361}}$.
$\sqrt{361} = 19$.
$\frac{95}{19} = 5$.

2. Вычислим второе слагаемое: $\frac{13}{14}\sqrt{1\frac{27}{169}}$.
Преобразуем смешанную дробь под корнем в неправильную: $1\frac{27}{169} = \frac{1 \cdot 169 + 27}{169} = \frac{196}{169}$.
Извлечем корень: $\sqrt{\frac{196}{169}} = \frac{\sqrt{196}}{\sqrt{169}} = \frac{14}{13}$.
Теперь выполним умножение: $\frac{13}{14} \cdot \frac{14}{13} = 1$.

3. Вычислим третье слагаемое: $\sqrt{8^2 + 15^2}$.
$8^2 = 64$.
$15^2 = 225$.
$\sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17$.

4. Подставим результаты в выражение:
$5 - 1 + 17 = 4 + 17 = 21$.

Ответ: 21

3) $\left(-8\sqrt{\frac{1}{4}} + \frac{\sqrt{1,44}}{3} \cdot \sqrt{12,25}\right) : (0,1\sqrt{13})^2$

Выполним решение по действиям:

1. Сначала вычислим значение выражения в скобках.
а) $-8\sqrt{\frac{1}{4}} = -8 \cdot \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}} = -8 \cdot \frac{1}{2} = -4$.
б) $\frac{\sqrt{1,44}}{3} \cdot \sqrt{12,25}$.
$\sqrt{1,44} = \sqrt{\frac{144}{100}} = \frac{12}{10} = 1,2$.
$\sqrt{12,25} = \sqrt{\frac{1225}{100}} = \frac{35}{10} = 3,5$.
Тогда $\frac{1,2}{3} \cdot 3,5 = 0,4 \cdot 3,5 = 1,4$.
в) Сложим результаты, полученные в скобках: $-4 + 1,4 = -2,6$.

2. Теперь вычислим значение делителя: $(0,1\sqrt{13})^2$.
$(0,1\sqrt{13})^2 = (0,1)^2 \cdot (\sqrt{13})^2 = 0,01 \cdot 13 = 0,13$.

3. Выполним деление:
$-2,6 : 0,13 = -\frac{2,6}{0,13} = -\frac{260}{13} = -20$.

Ответ: -20

399. При каких значениях x имеет смысл выражение:

1) $\sqrt{x}$;

2) $\sqrt{-x}$;

3) $\sqrt{x^2}$;

4) $\sqrt{-x^2}$;

5) $\sqrt{x-8}$;

6) $\sqrt{8-x}$;

7) $\sqrt{x^2+8}$;

8) $\sqrt{(x-8)^2}$;

9) $\frac{1}{\sqrt{(x-8)^2}}$;

10) $\frac{1}{\sqrt{x-3}}$;

11) $\frac{1}{\sqrt{x+3}}$;

12) $\sqrt{x} \cdot \sqrt{-x}$;

13) $\frac{1}{\sqrt{x} \cdot \sqrt{-x}}$;

14) $\sqrt{|x|}$;

15) $\sqrt{-|x|}$;

16) $\frac{1}{\sqrt{|x|}}$?

1) Выражение $\sqrt{x}$ имеет смысл (определено), когда выражение под знаком квадратного корня неотрицательно.
$x \ge 0$
Ответ: $x \ge 0$.

2) Выражение $\sqrt{-x}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно.
$-x \ge 0$
Умножив обе части неравенства на -1 и изменив знак неравенства на противоположный, получим:
$x \le 0$
Ответ: $x \le 0$.

3) Выражение $\sqrt{x^2}$ имеет смысл, когда $x^2 \ge 0$.
Квадрат любого действительного числа всегда больше или равен нулю. Следовательно, это неравенство выполняется для любого значения $x$.
Ответ: $x$ - любое число.

4) Выражение $\sqrt{-x^2}$ имеет смысл, когда $-x^2 \ge 0$.
Умножив на -1, получим $x^2 \le 0$.
Поскольку $x^2$ никогда не бывает отрицательным ($x^2 \ge 0$), единственное значение $x$, удовлетворяющее условию $x^2 \le 0$, это $x^2 = 0$.
$x = 0$
Ответ: $x = 0$.

5) Выражение $\sqrt{x-8}$ имеет смысл, когда $x-8 \ge 0$.
$x \ge 8$
Ответ: $x \ge 8$.

6) Выражение $\sqrt{8-x}$ имеет смысл, когда $8-x \ge 0$.
$8 \ge x$, или $x \le 8$.
Ответ: $x \le 8$.

7) Выражение $\sqrt{x^2+8}$ имеет смысл, когда $x^2+8 \ge 0$.
Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого $x$, то $x^2+8 \ge 0+8=8$. Так как $8 > 0$, неравенство $x^2+8 \ge 0$ выполняется для всех действительных чисел $x$.
Ответ: $x$ - любое число.

8) Выражение $\sqrt{(x-8)^2}$ имеет смысл, когда $(x-8)^2 \ge 0$.
Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Следовательно, это неравенство выполняется для любого значения $x$.
Ответ: $x$ - любое число.

9) Выражение $\frac{1}{\sqrt{(x-8)^2}}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение в знаменателе строго больше нуля (так как оно под корнем и в знаменателе).
$(x-8)^2 > 0$
Квадрат выражения равен нулю только тогда, когда само выражение равно нулю. То есть, $(x-8)^2 = 0$ при $x=8$. Во всех остальных случаях $(x-8)^2 > 0$.
Следовательно, $x \neq 8$.
Ответ: $x \neq 8$.

10) Выражение $\frac{1}{\sqrt{x}-3}$ имеет смысл при выполнении двух условий:
1) Подкоренное выражение неотрицательно: $x \ge 0$.
2) Знаменатель не равен нулю: $\sqrt{x}-3 \neq 0$.
Из второго условия получаем $\sqrt{x} \neq 3$. Возведя обе части в квадрат, получим $x \neq 9$.
Объединяя оба условия, получаем, что $x$ может быть любым неотрицательным числом, кроме 9.
Ответ: $x \ge 0$ и $x \neq 9$.

11) Выражение $\frac{1}{\sqrt{x}+3}$ имеет смысл при выполнении двух условий:
1) $x \ge 0$.
2) $\sqrt{x}+3 \neq 0$.
Поскольку из первого условия $\sqrt{x} \ge 0$, то $\sqrt{x}+3 \ge 0+3=3$. Знаменатель всегда положителен и никогда не равен нулю.
Таким образом, остается только первое условие.
Ответ: $x \ge 0$.

12) Выражение $\sqrt{x} \cdot \sqrt{-x}$ имеет смысл, когда оба множителя имеют смысл.
1) Для $\sqrt{x}$: $x \ge 0$.
2) Для $\sqrt{-x}$: $-x \ge 0 \implies x \le 0$.
Нужно найти значения $x$, которые удовлетворяют обоим неравенствам одновременно: $x \ge 0$ и $x \le 0$. Единственное такое число — это 0.
Ответ: $x = 0$.

13) Выражение $\frac{1}{\sqrt{x} \cdot \sqrt{-x}}$ имеет смысл, когда подкоренные выражения неотрицательны и знаменатель не равен нулю.
1) Условия для подкоренных выражений ($x \ge 0$ и $-x \ge 0$) дают единственное возможное значение $x=0$, как и в предыдущем пункте.
2) Проверим знаменатель при $x=0$: $\sqrt{0} \cdot \sqrt{-0} = 0 \cdot 0 = 0$.
Деление на ноль недопустимо. Так как единственное значение $x$, при котором подкоренные выражения определены, обращает знаменатель в ноль, то нет таких значений $x$, при которых данное выражение имело бы смысл.
Ответ: выражение не имеет смысла ни при каких $x$.

14) Выражение $\sqrt{|x|}$ имеет смысл, когда $|x| \ge 0$.
Модуль любого действительного числа всегда неотрицателен. Следовательно, это неравенство выполняется для любого значения $x$.
Ответ: $x$ - любое число.

15) Выражение $\sqrt{-|x|}$ имеет смысл, когда $-|x| \ge 0$.
Умножив на -1, получим $|x| \le 0$.
Поскольку $|x| \ge 0$ по определению, единственное значение $x$, удовлетворяющее условию $|x| \le 0$, это $|x| = 0$.
$x = 0$
Ответ: $x = 0$.

16) Выражение $\frac{1}{\sqrt{|x|}}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение в знаменателе строго больше нуля.
$|x| > 0$
Модуль числа равен нулю только тогда, когда само число равно нулю ($|x|=0$ при $x=0$). Во всех остальных случаях модуль числа положителен.
Следовательно, $x \neq 0$.
Ответ: $x \neq 0$.

400. При каких значениях y имеет смысл выражение:

1) $\sqrt{2y}$;

2) $\sqrt{-3y}$;

3) $\sqrt{y^3}$;

4) $\sqrt{-y^3}$;

5) $\sqrt{-y^4}$;

6) $\frac{1}{\sqrt{y}}$;

7) $\frac{1}{\sqrt{y-1}}$;

8) $\frac{1}{\sqrt{y+1}}$?

1) Для того чтобы выражение $\sqrt{2y}$ имело смысл, подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть большим или равным нулю.
Составим и решим неравенство:
$2y \ge 0$
Разделим обе части на 2:
$y \ge 0$
Таким образом, выражение имеет смысл при всех значениях $y$, больших или равных 0.
Ответ: $y \ge 0$.

2) Для того чтобы выражение $\sqrt{-3y}$ имело смысл, подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
Составим и решим неравенство:
$-3y \ge 0$
Разделим обе части на -3 и сменим знак неравенства на противоположный:
$y \le 0$
Таким образом, выражение имеет смысл при всех значениях $y$, меньших или равных 0.
Ответ: $y \le 0$.

3) Для того чтобы выражение $\sqrt{y^3}$ имело смысл, подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
Составим и решим неравенство:
$y^3 \ge 0$
Куб числа является неотрицательным тогда и только тогда, когда само число неотрицательно.
$y \ge 0$
Таким образом, выражение имеет смысл при всех значениях $y$, больших или равных 0.
Ответ: $y \ge 0$.

4) Для того чтобы выражение $\sqrt{-y^3}$ имело смысл, подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
Составим и решим неравенство:
$-y^3 \ge 0$
Умножим обе части на -1 и сменим знак неравенства:
$y^3 \le 0$
Куб числа является неположительным тогда и только тогда, когда само число неположительно.
$y \le 0$
Таким образом, выражение имеет смысл при всех значениях $y$, меньших или равных 0.
Ответ: $y \le 0$.

5) Для того чтобы выражение $\sqrt{-y^4}$ имело смысл, подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
Составим и решим неравенство:
$-y^4 \ge 0$
Выражение $y^4$ всегда неотрицательно для любого действительного значения $y$, так как показатель степени чётный ($y^4 \ge 0$).
Следовательно, выражение $-y^4$ всегда неположительно ($-y^4 \le 0$).
Неравенство $-y^4 \ge 0$ выполняется только в одном случае, когда $-y^4 = 0$.
$-y^4 = 0 \implies y^4 = 0 \implies y = 0$.
Таким образом, выражение имеет смысл только при $y = 0$.
Ответ: $y = 0$.

6) В выражении $\frac{1}{\sqrt{y}}$ корень находится в знаменателе. Это накладывает два условия:
1. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $y \ge 0$.
2. Знаменатель не может быть равен нулю: $\sqrt{y} \ne 0$, что означает $y \ne 0$.
Объединяя эти два условия, получаем, что подкоренное выражение должно быть строго положительным.
$y > 0$
Таким образом, выражение имеет смысл при всех значениях $y$ строго больше 0.
Ответ: $y > 0$.

7) В выражении $\frac{1}{\sqrt{y-1}}$ корень находится в знаменателе. Следовательно, подкоренное выражение должно быть строго положительным.
Составим и решим неравенство:
$y - 1 > 0$
Перенесем 1 в правую часть:
$y > 1$
Таким образом, выражение имеет смысл при всех значениях $y$ строго больше 1.
Ответ: $y > 1$.

8) В выражении $\frac{1}{\sqrt{y}+1}$ есть корень в знаменателе. Рассмотрим два условия:
1. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $y \ge 0$.
2. Знаменатель не должен быть равен нулю: $\sqrt{y} + 1 \ne 0$.
Решим уравнение $\sqrt{y} + 1 = 0$.
$\sqrt{y} = -1$.
Это уравнение не имеет решений в действительных числах, так как арифметический квадратный корень не может быть отрицательным. Значит, $\sqrt{y} \ge 0$, и $\sqrt{y} + 1 \ge 1$.
Следовательно, знаменатель никогда не равен нулю при допустимых значениях $y$.
Остается только первое условие: $y \ge 0$.
Таким образом, выражение имеет смысл при всех значениях $y$, больших или равных 0.
Ответ: $y \ge 0$.

401. Решите уравнение:

1) $\sqrt{5x - 4} = 0;$

2) $\sqrt{5x - 4} = 0;$

3) $\sqrt{5x - 4} = 6;$

4) $\frac{42}{\sqrt{r}} = 6;$

5) $\frac{18}{\sqrt{x+3}} = 9;$

6) $\sqrt{x^2 - 36} = 8.$

1)

Дано уравнение: $\sqrt{5x} - 4 = 0$.

Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения определяется условием, что выражение под корнем должно быть неотрицательным: $5x \ge 0$, откуда $x \ge 0$.

Перенесем слагаемое -4 в правую часть уравнения:

$\sqrt{5x} = 4$

Так как правая часть уравнения (4) положительна, мы можем возвести обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от знака корня:

$(\sqrt{5x})^2 = 4^2$

$5x = 16$

Теперь найдем $x$, разделив обе части на 5:

$x = \frac{16}{5} = 3.2$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ: $3.2 \ge 0$. Условие выполняется.

Выполним проверку, подставив $x = 3.2$ в исходное уравнение:

$\sqrt{5 \cdot 3.2} - 4 = \sqrt{16} - 4 = 4 - 4 = 0$

$0 = 0$. Равенство верное.

Ответ: $3.2$

2)

Дано уравнение: $\sqrt{5x-4} = 0$.

ОДЗ: выражение под корнем должно быть неотрицательным: $5x - 4 \ge 0$, откуда $5x \ge 4$ и $x \ge \frac{4}{5}$.

Квадратный корень равен нулю тогда и только тогда, когда подкоренное выражение равно нулю. Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{5x-4})^2 = 0^2$

$5x - 4 = 0$

Решим полученное линейное уравнение:

$5x = 4$

$x = \frac{4}{5} = 0.8$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ: $0.8 \ge \frac{4}{5}$. Условие выполняется, так как $0.8 = \frac{4}{5}$.

Проверка: $\sqrt{5 \cdot 0.8 - 4} = \sqrt{4-4} = \sqrt{0} = 0$. Равенство верное.

Ответ: $0.8$

3)

Дано уравнение: $\sqrt{5x-4} = 6$.

ОДЗ: $5x - 4 \ge 0$, откуда $x \ge \frac{4}{5}$.

Правая часть уравнения (6) положительна, поэтому возводим обе части в квадрат:

$(\sqrt{5x-4})^2 = 6^2$

$5x - 4 = 36$

Перенесем -4 в правую часть:

$5x = 36 + 4$

$5x = 40$

Разделим обе части на 5:

$x = \frac{40}{5} = 8$

Проверим ОДЗ: $8 \ge \frac{4}{5}$. Условие выполняется.

Проверка: $\sqrt{5 \cdot 8 - 4} = \sqrt{40 - 4} = \sqrt{36} = 6$. Равенство верное.

Ответ: $8$

4)

Дано уравнение: $\frac{42}{\sqrt{x}} = 6$.

ОДЗ: подкоренное выражение должно быть строго положительным, так как оно находится в знаменателе: $x > 0$.

Выразим $\sqrt{x}$ из уравнения. Для этого можно поменять местами $\sqrt{x}$ и 6:

$\sqrt{x} = \frac{42}{6}$

$\sqrt{x} = 7$

Возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{x})^2 = 7^2$

$x = 49$

Проверим ОДЗ: $49 > 0$. Условие выполняется.

Проверка: $\frac{42}{\sqrt{49}} = \frac{42}{7} = 6$. Равенство верное.

Ответ: $49$

5)

Дано уравнение: $\frac{18}{\sqrt{x+3}} = 9$.

ОДЗ: выражение под корнем в знаменателе должно быть строго положительным: $x+3 > 0$, откуда $x > -3$.

Выразим $\sqrt{x+3}$ из уравнения:

$\sqrt{x+3} = \frac{18}{9}$

$\sqrt{x+3} = 2$

Возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{x+3})^2 = 2^2$

$x+3 = 4$

Найдем $x$:

$x = 4 - 3$

$x = 1$

Проверим ОДЗ: $1 > -3$. Условие выполняется.

Проверка: $\frac{18}{\sqrt{1+3}} = \frac{18}{\sqrt{4}} = \frac{18}{2} = 9$. Равенство верное.

Ответ: $1$

6)

Дано уравнение: $\sqrt{x^2 - 36} = 8$.

ОДЗ: выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x^2 - 36 \ge 0$.

Это неравенство можно переписать как $x^2 \ge 36$, что эквивалентно $|x| \ge 6$, то есть $x \le -6$ или $x \ge 6$.

Правая часть уравнения (8) положительна, возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{x^2-36})^2 = 8^2$

$x^2 - 36 = 64$

Перенесем -36 в правую часть:

$x^2 = 64 + 36$

$x^2 = 100$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$x_1 = 10$, $x_2 = -10$

Проверим оба корня на соответствие ОДЗ:

Для $x_1=10$: $10 \ge 6$. Условие выполняется.

Для $x_2=-10$: $-10 \le -6$. Условие выполняется.

Оба корня подходят. Сделаем проверку для обоих:

При $x=10$: $\sqrt{10^2 - 36} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$. Верно.

При $x=-10$: $\sqrt{(-10)^2 - 36} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$. Верно.

Ответ: $-10; 10$

402. Решите уравнение:

1) $\frac{1}{3}\sqrt{x}-2=0$;

2) $\sqrt{2x+3}=11$;

3) $\frac{4}{\sqrt{x}-5}=6$;

4) $\sqrt{130-x^2}=9$.

1) $\frac{1}{3}\sqrt{x} - 2 = 0$

Область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения определяется условием, что выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.

Перенесем -2 в правую часть уравнения:

$\frac{1}{3}\sqrt{x} = 2$

Умножим обе части уравнения на 3, чтобы избавиться от дроби:

$\sqrt{x} = 2 \cdot 3$

$\sqrt{x} = 6$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x})^2 = 6^2$

$x = 36$

Полученное значение $x=36$ удовлетворяет ОДЗ ($36 \ge 0$).

Проверка:

$\frac{1}{3}\sqrt{36} - 2 = \frac{1}{3} \cdot 6 - 2 = 2 - 2 = 0$

Верно.

Ответ: $x = 36$.

2) $\sqrt{2x + 3} = 11$

ОДЗ: $2x + 3 \ge 0$, что означает $2x \ge -3$, и, следовательно, $x \ge -\frac{3}{2}$.

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от знака корня:

$(\sqrt{2x + 3})^2 = 11^2$

$2x + 3 = 121$

Перенесем 3 в правую часть:

$2x = 121 - 3$

$2x = 118$

Разделим обе части на 2:

$x = \frac{118}{2}$

$x = 59$

Значение $x=59$ удовлетворяет ОДЗ ($59 \ge -1.5$).

Проверка:

$\sqrt{2(59) + 3} = \sqrt{118 + 3} = \sqrt{121} = 11$

Верно.

Ответ: $x = 59$.

3) $\frac{4}{\sqrt{x} - 5} = 6$

ОДЗ:
1. Выражение под корнем неотрицательно: $x \ge 0$.
2. Знаменатель не равен нулю: $\sqrt{x} - 5 \neq 0$, откуда $\sqrt{x} \neq 5$, то есть $x \neq 25$.
Итак, ОДЗ: $x \ge 0$ и $x \neq 25$.

Выразим знаменатель из пропорции:

$\sqrt{x} - 5 = \frac{4}{6}$

$\sqrt{x} - 5 = \frac{2}{3}$

Перенесем -5 в правую часть:

$\sqrt{x} = \frac{2}{3} + 5$

$\sqrt{x} = \frac{2}{3} + \frac{15}{3}$

$\sqrt{x} = \frac{17}{3}$

Возведем обе части в квадрат:

$x = (\frac{17}{3})^2$

$x = \frac{289}{9}$

Полученное значение $x=\frac{289}{9} = 32\frac{1}{9}$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x = \frac{289}{9}$.

4) $\sqrt{130 - x^2} = 9$

ОДЗ: $130 - x^2 \ge 0$, что означает $x^2 \le 130$. Это выполняется при $-\sqrt{130} \le x \le \sqrt{130}$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{130 - x^2})^2 = 9^2$

$130 - x^2 = 81$

Выразим $x^2$:

$x^2 = 130 - 81$

$x^2 = 49$

Найдем корни:

$x = \pm\sqrt{49}$

$x_1 = 7$, $x_2 = -7$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ, так как $7^2=49 \le 130$ и $(-7)^2=49 \le 130$.

Проверка для $x=7$: $\sqrt{130 - 7^2} = \sqrt{130 - 49} = \sqrt{81} = 9$. Верно.

Проверка для $x=-7$: $\sqrt{130 - (-7)^2} = \sqrt{130 - 49} = \sqrt{81} = 9$. Верно.

Ответ: $x = \pm 7$.

403. Решите уравнение:

1) $(x + 6)^2 = 0;$

2) $(x + 6)^2 = 9;$

3) $(x + 6)^2 = 3;$

4) $(7x + 6)^2 = 5.$

1) $(x + 6)^2 = 0$

Если квадрат выражения равен нулю, то и само выражение равно нулю. Следовательно, мы можем убрать степень:

$x + 6 = 0$

Чтобы найти $x$, перенесем 6 в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:

$x = -6$

Ответ: $x = -6$.

2) $(x + 6)^2 = 9$

Чтобы решить это уравнение, извлечем квадратный корень из обеих частей. Важно помнить, что у положительного числа есть два квадратных корня: положительный и отрицательный.

$x + 6 = \sqrt{9}$ или $x + 6 = -\sqrt{9}$

$x + 6 = 3$ или $x + 6 = -3$

Теперь решим каждое из двух получившихся линейных уравнений:

1) $x + 6 = 3$

$x_1 = 3 - 6$

$x_1 = -3$

2) $x + 6 = -3$

$x_2 = -3 - 6$

$x_2 = -9$

Ответ: $x_1 = -3, x_2 = -9$.

3) $(x + 6)^2 = 3$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения, как и в предыдущем примере:

$x + 6 = \sqrt{3}$ или $x + 6 = -\sqrt{3}$

Выразим $x$ для каждого случая:

1) $x + 6 = \sqrt{3}$

$x_1 = -6 + \sqrt{3}$

2) $x + 6 = -\sqrt{3}$

$x_2 = -6 - \sqrt{3}$

Эти два корня можно записать одной формулой:

$x = -6 \pm \sqrt{3}$

Ответ: $x = -6 \pm \sqrt{3}$.

4) $(7x + 6)^2 = 5$

Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$7x + 6 = \sqrt{5}$ или $7x + 6 = -\sqrt{5}$

Решим каждое уравнение относительно $x$:

1) $7x + 6 = \sqrt{5}$

$7x = -6 + \sqrt{5}$

$x_1 = \frac{-6 + \sqrt{5}}{7}$

2) $7x + 6 = -\sqrt{5}$

$7x = -6 - \sqrt{5}$

$x_2 = \frac{-6 - \sqrt{5}}{7}$

Оба решения можно записать в компактной форме:

$x = \frac{-6 \pm \sqrt{5}}{7}$

Ответ: $x = \frac{-6 \pm \sqrt{5}}{7}$.

404. Решите уравнение:

1) $(2x - 3)^2 = 25;$

2) $(x - 3)^2 = 7;$

3) $(2x - 3)^2 = 7.$

1) $(2x - 3)^2 = 25$

Данное уравнение представляет собой квадрат выражения, равный числу. Чтобы решить его, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Важно помнить, что корень из числа может быть как положительным, так и отрицательным.

$2x - 3 = \sqrt{25}$ или $2x - 3 = -\sqrt{25}$

Так как $\sqrt{25} = 5$, получаем два линейных уравнения:

Случай 1:

$2x - 3 = 5$

$2x = 5 + 3$

$2x = 8$

$x = \frac{8}{2}$

$x_1 = 4$

Случай 2:

$2x - 3 = -5$

$2x = -5 + 3$

$2x = -2$

$x = \frac{-2}{2}$

$x_2 = -1$

Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: -1; 4.

2) $(x - 3)^2 = 7$

Аналогично первому примеру, извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения.

$x - 3 = \sqrt{7}$ или $x - 3 = -\sqrt{7}$

Число 7 не является полным квадратом, поэтому корень из него является иррациональным числом. Оставляем его в виде $\sqrt{7}$.

Выражаем $x$ для каждого из двух случаев:

Случай 1:

$x_1 = 3 + \sqrt{7}$

Случай 2:

$x_2 = 3 - \sqrt{7}$

Оба решения можно записать в сокращенной форме.

Ответ: $3 \pm \sqrt{7}$.

3) $(2x - 3)^2 = 7$

Снова применяем метод извлечения квадратного корня из обеих частей уравнения.

$2x - 3 = \sqrt{7}$ или $2x - 3 = -\sqrt{7}$

Получаем два линейных уравнения относительно $x$.

Случай 1:

$2x = 3 + \sqrt{7}$

$x_1 = \frac{3 + \sqrt{7}}{2}$

Случай 2:

$2x = 3 - \sqrt{7}$

$x_2 = \frac{3 - \sqrt{7}}{2}$

Объединяем два корня в одну запись.

Ответ: $\frac{3 \pm \sqrt{7}}{2}$.

405. Решите уравнение:

1) $\sqrt{3+\sqrt{2+x}}=4$;

2) $\sqrt{2+\sqrt{3+\sqrt{x}}}=3$;

3) $\sqrt{4-\sqrt{10+\sqrt{x}}}=2$.

1) $\sqrt{3+\sqrt{2+x}} = 4$

Для решения данного иррационального уравнения необходимо последовательно избавляться от знаков корня путем возведения обеих частей уравнения в квадрат. При возведении в квадрат обеих частей уравнения, которые являются неотрицательными, получается равносильное уравнение.

Правая часть уравнения ($4$) — положительное число, левая часть (арифметический корень) также неотрицательна, поэтому можем возвести обе части в квадрат:

$(\sqrt{3+\sqrt{2+x}})^2 = 4^2$

$3+\sqrt{2+x} = 16$

Теперь перенесем число 3 в правую часть уравнения:

$\sqrt{2+x} = 16 - 3$

$\sqrt{2+x} = 13$

Снова возведем обе части в квадрат, так как обе части неотрицательны:

$(\sqrt{2+x})^2 = 13^2$

$2+x = 169$

Найдем $x$:

$x = 169 - 2$

$x = 167$

Выполним проверку, подставив найденное значение $x$ в исходное уравнение:

$\sqrt{3+\sqrt{2+167}} = \sqrt{3+\sqrt{169}} = \sqrt{3+13} = \sqrt{16} = 4$

$4 = 4$

Равенство верное, значит, корень найден правильно.

Ответ: $167$.

2) $\sqrt{2+\sqrt{3+\sqrt{x}}} = 3$

Решаем аналогично предыдущему уравнению, последовательно возводя обе части в квадрат. Обе части уравнения неотрицательны.

Возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{2+\sqrt{3+\sqrt{x}}})^2 = 3^2$

$2+\sqrt{3+\sqrt{x}} = 9$

Изолируем оставшийся корень:

$\sqrt{3+\sqrt{x}} = 9 - 2$

$\sqrt{3+\sqrt{x}} = 7$

Снова возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{3+\sqrt{x}})^2 = 7^2$

$3+\sqrt{x} = 49$

Еще раз изолируем корень:

$\sqrt{x} = 49 - 3$

$\sqrt{x} = 46$

В последний раз возводим в квадрат:

$(\sqrt{x})^2 = 46^2$

$x = 2116$

Выполним проверку:

$\sqrt{2+\sqrt{3+\sqrt{2116}}} = \sqrt{2+\sqrt{3+46}} = \sqrt{2+\sqrt{49}} = \sqrt{2+7} = \sqrt{9} = 3$

$3 = 3$

Равенство верное, корень найден правильно.

Ответ: $2116$.

3) $\sqrt{4-\sqrt{10+\sqrt{x}}} = 2$

Как и в предыдущих случаях, возведем обе части уравнения в квадрат. Обе части неотрицательны.

$(\sqrt{4-\sqrt{10+\sqrt{x}}})^2 = 2^2$

$4-\sqrt{10+\sqrt{x}} = 4$

Выразим корень:

$-\sqrt{10+\sqrt{x}} = 4 - 4$

$-\sqrt{10+\sqrt{x}} = 0$

$\sqrt{10+\sqrt{x}} = 0$

Снова возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{10+\sqrt{x}})^2 = 0^2$

$10+\sqrt{x} = 0$

Выразим последний корень:

$\sqrt{x} = -10$

По определению, арифметический квадратный корень ($\sqrt{x}$) не может быть отрицательным числом. Следовательно, последнее уравнение не имеет решений.

Ответ: корней нет.