Номер 405, страница 102 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 12. Квадратные корни. Арифметический квадратный корень. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа - номер 405, страница 102.

Условие.

405. Решите уравнение:

1) $\sqrt{3+\sqrt{2+x}}=4$;

2) $\sqrt{2+\sqrt{3+\sqrt{x}}}=3$;

3) $\sqrt{4-\sqrt{10+\sqrt{x}}}=2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $\sqrt{3+\sqrt{2+x}} = 4$

Для решения данного иррационального уравнения необходимо последовательно избавляться от знаков корня путем возведения обеих частей уравнения в квадрат. При возведении в квадрат обеих частей уравнения, которые являются неотрицательными, получается равносильное уравнение.

Правая часть уравнения ($4$) — положительное число, левая часть (арифметический корень) также неотрицательна, поэтому можем возвести обе части в квадрат:

$(\sqrt{3+\sqrt{2+x}})^2 = 4^2$

$3+\sqrt{2+x} = 16$

Теперь перенесем число 3 в правую часть уравнения:

$\sqrt{2+x} = 16 - 3$

$\sqrt{2+x} = 13$

Снова возведем обе части в квадрат, так как обе части неотрицательны:

$(\sqrt{2+x})^2 = 13^2$

$2+x = 169$

Найдем $x$:

$x = 169 - 2$

$x = 167$

Выполним проверку, подставив найденное значение $x$ в исходное уравнение:

$\sqrt{3+\sqrt{2+167}} = \sqrt{3+\sqrt{169}} = \sqrt{3+13} = \sqrt{16} = 4$

$4 = 4$

Равенство верное, значит, корень найден правильно.

Ответ: $167$.

2) $\sqrt{2+\sqrt{3+\sqrt{x}}} = 3$

Решаем аналогично предыдущему уравнению, последовательно возводя обе части в квадрат. Обе части уравнения неотрицательны.

Возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{2+\sqrt{3+\sqrt{x}}})^2 = 3^2$

$2+\sqrt{3+\sqrt{x}} = 9$

Изолируем оставшийся корень:

$\sqrt{3+\sqrt{x}} = 9 - 2$

$\sqrt{3+\sqrt{x}} = 7$

Снова возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{3+\sqrt{x}})^2 = 7^2$

$3+\sqrt{x} = 49$

Еще раз изолируем корень:

$\sqrt{x} = 49 - 3$

$\sqrt{x} = 46$

В последний раз возводим в квадрат:

$(\sqrt{x})^2 = 46^2$

$x = 2116$

Выполним проверку:

$\sqrt{2+\sqrt{3+\sqrt{2116}}} = \sqrt{2+\sqrt{3+46}} = \sqrt{2+\sqrt{49}} = \sqrt{2+7} = \sqrt{9} = 3$

$3 = 3$

Равенство верное, корень найден правильно.

Ответ: $2116$.

3) $\sqrt{4-\sqrt{10+\sqrt{x}}} = 2$

Как и в предыдущих случаях, возведем обе части уравнения в квадрат. Обе части неотрицательны.

$(\sqrt{4-\sqrt{10+\sqrt{x}}})^2 = 2^2$

$4-\sqrt{10+\sqrt{x}} = 4$

Выразим корень:

$-\sqrt{10+\sqrt{x}} = 4 - 4$

$-\sqrt{10+\sqrt{x}} = 0$

$\sqrt{10+\sqrt{x}} = 0$

Снова возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{10+\sqrt{x}})^2 = 0^2$

$10+\sqrt{x} = 0$

Выразим последний корень:

$\sqrt{x} = -10$

По определению, арифметический квадратный корень ($\sqrt{x}$) не может быть отрицательным числом. Следовательно, последнее уравнение не имеет решений.

Ответ: корней нет.