Номер 402, страница 102 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 12. Квадратные корни. Арифметический квадратный корень. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа - номер 402, страница 102.

Условие.

402. Решите уравнение:

1) $\frac{1}{3}\sqrt{x}-2=0$;

2) $\sqrt{2x+3}=11$;

3) $\frac{4}{\sqrt{x}-5}=6$;

4) $\sqrt{130-x^2}=9$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $\frac{1}{3}\sqrt{x} - 2 = 0$

Область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения определяется условием, что выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.

Перенесем -2 в правую часть уравнения:

$\frac{1}{3}\sqrt{x} = 2$

Умножим обе части уравнения на 3, чтобы избавиться от дроби:

$\sqrt{x} = 2 \cdot 3$

$\sqrt{x} = 6$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x})^2 = 6^2$

$x = 36$

Полученное значение $x=36$ удовлетворяет ОДЗ ($36 \ge 0$).

Проверка:

$\frac{1}{3}\sqrt{36} - 2 = \frac{1}{3} \cdot 6 - 2 = 2 - 2 = 0$

Верно.

Ответ: $x = 36$.

2) $\sqrt{2x + 3} = 11$

ОДЗ: $2x + 3 \ge 0$, что означает $2x \ge -3$, и, следовательно, $x \ge -\frac{3}{2}$.

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от знака корня:

$(\sqrt{2x + 3})^2 = 11^2$

$2x + 3 = 121$

Перенесем 3 в правую часть:

$2x = 121 - 3$

$2x = 118$

Разделим обе части на 2:

$x = \frac{118}{2}$

$x = 59$

Значение $x=59$ удовлетворяет ОДЗ ($59 \ge -1.5$).

Проверка:

$\sqrt{2(59) + 3} = \sqrt{118 + 3} = \sqrt{121} = 11$

Верно.

Ответ: $x = 59$.

3) $\frac{4}{\sqrt{x} - 5} = 6$

ОДЗ:
1. Выражение под корнем неотрицательно: $x \ge 0$.
2. Знаменатель не равен нулю: $\sqrt{x} - 5 \neq 0$, откуда $\sqrt{x} \neq 5$, то есть $x \neq 25$.
Итак, ОДЗ: $x \ge 0$ и $x \neq 25$.

Выразим знаменатель из пропорции:

$\sqrt{x} - 5 = \frac{4}{6}$

$\sqrt{x} - 5 = \frac{2}{3}$

Перенесем -5 в правую часть:

$\sqrt{x} = \frac{2}{3} + 5$

$\sqrt{x} = \frac{2}{3} + \frac{15}{3}$

$\sqrt{x} = \frac{17}{3}$

Возведем обе части в квадрат:

$x = (\frac{17}{3})^2$

$x = \frac{289}{9}$

Полученное значение $x=\frac{289}{9} = 32\frac{1}{9}$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x = \frac{289}{9}$.

4) $\sqrt{130 - x^2} = 9$

ОДЗ: $130 - x^2 \ge 0$, что означает $x^2 \le 130$. Это выполняется при $-\sqrt{130} \le x \le \sqrt{130}$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{130 - x^2})^2 = 9^2$

$130 - x^2 = 81$

Выразим $x^2$:

$x^2 = 130 - 81$

$x^2 = 49$

Найдем корни:

$x = \pm\sqrt{49}$

$x_1 = 7$, $x_2 = -7$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ, так как $7^2=49 \le 130$ и $(-7)^2=49 \le 130$.

Проверка для $x=7$: $\sqrt{130 - 7^2} = \sqrt{130 - 49} = \sqrt{81} = 9$. Верно.

Проверка для $x=-7$: $\sqrt{130 - (-7)^2} = \sqrt{130 - 49} = \sqrt{81} = 9$. Верно.

Ответ: $x = \pm 7$.