Номер 407, страница 103 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 12. Квадратные корни. Арифметический квадратный корень. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа - номер 407, страница 103.

Условие.

407. При каких значениях a и b имеет смысл выражение:

1) $\sqrt{ab}$;

2) $\sqrt{-ab}$;

3) $\sqrt{ab^2}$;

4) $\sqrt{a^2b^2}$;

5) $\sqrt{-a^2b?}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Основное правило: арифметический квадратный корень $\sqrt{X}$ определен (имеет смысл) только тогда, когда подкоренное выражение $X$ является неотрицательным, то есть $X \ge 0$. Мы применим это правило к каждому из данных выражений.

1) Выражение $\sqrt{ab}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно, то есть $ab \ge 0$. Произведение двух сомножителей неотрицательно, если оба сомножителя имеют одинаковый знак или хотя бы один из них равен нулю.
Это приводит к двум возможным случаям:
а) Оба множителя неотрицательны: $a \ge 0$ и $b \ge 0$.
б) Оба множителя неположительны: $a \le 0$ и $b \le 0$.
Ответ: $a \ge 0$ и $b \ge 0$, или $a \le 0$ и $b \le 0$.

2) Выражение $\sqrt{-ab}$ имеет смысл, когда $-ab \ge 0$. Умножив обе части неравенства на -1, мы должны изменить знак неравенства на противоположный: $ab \le 0$. Произведение двух сомножителей неположительно, если сомножители имеют разные знаки или хотя бы один из них равен нулю.
Это приводит к двум возможным случаям:
а) Первый множитель неотрицателен, а второй неположителен: $a \ge 0$ и $b \le 0$.
б) Первый множитель неположителен, а второй неотрицателен: $a \le 0$ и $b \ge 0$.
Ответ: $a \ge 0$ и $b \le 0$, или $a \le 0$ и $b \ge 0$.

3) Выражение $\sqrt{ab^2}$ имеет смысл, когда $ab^2 \ge 0$.
Множитель $b^2$ всегда неотрицателен ($b^2 \ge 0$) для любого действительного числа $b$.
- Если $b \ne 0$, то $b^2 > 0$. В этом случае, чтобы произведение $ab^2$ было неотрицательным, необходимо, чтобы $a \ge 0$.
- Если $b = 0$, то выражение $ab^2$ равно $a \cdot 0^2 = 0$. Неравенство $0 \ge 0$ верно при любом значении $a$.
Объединяя эти условия, мы получаем, что выражение имеет смысл, если $a \ge 0$ (при любом $b$) или если $b = 0$ (при любом $a$).
Ответ: $a \ge 0$ или $b = 0$.

4) Выражение $\sqrt{a^2b^2}$ имеет смысл, когда $a^2b^2 \ge 0$.
Это выражение можно записать как $\sqrt{(ab)^2}$.
Поскольку квадрат любого действительного числа ($a^2$, $b^2$ или $(ab)^2$) всегда является неотрицательным числом, неравенство $a^2b^2 \ge 0$ выполняется для любых действительных значений переменных $a$ и $b$.
Ответ: $a$ и $b$ — любые действительные числа.

5) Выражение $\sqrt{-a^2b}$ имеет смысл, когда $-a^2b \ge 0$. Умножив обе части на -1, получим неравенство $a^2b \le 0$.
Множитель $a^2$ всегда неотрицателен ($a^2 \ge 0$) для любого действительного числа $a$.
- Если $a \ne 0$, то $a^2 > 0$. Чтобы произведение $a^2b$ было неположительным, необходимо, чтобы $b \le 0$.
- Если $a = 0$, то выражение $a^2b$ равно $0^2 \cdot b = 0$. Неравенство $0 \le 0$ верно при любом значении $b$.
Объединяя эти условия, мы получаем, что выражение имеет смысл, если $b \le 0$ (при любом $a$) или если $a = 0$ (при любом $b$).
Ответ: $b \le 0$ или $a = 0$.