Номер 410, страница 103 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 12. Квадратные корни. Арифметический квадратный корень. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа - номер 410, страница 103.

Условие.

410. Какое из данных выражений имеет смысл при любом значении x.

1) $\sqrt{x^2 + 8x + 15}$;

2) $\sqrt{x^2 - 10x + 27}$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Чтобы выражение, содержащее квадратный корень, имело смысл, подкоренное выражение должно быть неотрицательным (больше или равно нулю). Нам нужно определить, для какого из двух данных выражений это условие выполняется при любом значении переменной $x$.

1) $\sqrt{x^2 + 8x + 15}$

Рассмотрим подкоренное выражение — квадратный трехчлен $x^2 + 8x + 15$. Чтобы исходное выражение имело смысл при любом $x$, должно выполняться неравенство $x^2 + 8x + 15 \ge 0$ для всех $x$.

Графиком функции $y = x^2 + 8x + 15$ является парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $x^2$ равен 1, что больше нуля). Неравенство будет выполняться для всех $x$ только в том случае, если парабола не пересекает ось Ох или касается ее в одной точке, то есть если дискриминант квадратного трехчлена $D \le 0$.

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 64 - 60 = 4$

Поскольку $D = 4 > 0$, квадратный трехчлен имеет два различных корня. Это означает, что парабола пересекает ось Ох, и существуют значения $x$, при которых $x^2 + 8x + 15 < 0$. Найдем эти интервалы. Корни уравнения $x^2 + 8x + 15 = 0$ равны $x_1 = -5$ и $x_2 = -3$. Значит, трехчлен отрицателен на интервале $(-5; -3)$.

Таким образом, выражение $\sqrt{x^2 + 8x + 15}$ имеет смысл не при любом значении $x$.

2) $\sqrt{x^2 - 10x + 27}$

Рассмотрим подкоренное выражение $x^2 - 10x + 27$. Проверим, выполняется ли неравенство $x^2 - 10x + 27 \ge 0$ для всех $x$.

Графиком функции $y = x^2 - 10x + 27$ является парабола с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $x^2$ равен 1, что больше нуля).

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 27 = 100 - 108 = -8$

Поскольку $D = -8 < 0$, квадратный трехчлен не имеет действительных корней. Так как ветви параболы направлены вверх, это означает, что график функции полностью расположен выше оси Ох, и, следовательно, выражение $x^2 - 10x + 27$ всегда принимает положительные значения.

Это также можно показать, выделив полный квадрат:

$x^2 - 10x + 27 = (x^2 - 10x + 25) + 2 = (x - 5)^2 + 2$

Так как $(x - 5)^2 \ge 0$ для любого $x$, то $(x - 5)^2 + 2 \ge 2$. Значит, подкоренное выражение всегда больше нуля.

Таким образом, выражение $\sqrt{x^2 - 10x + 27}$ имеет смысл при любом значении $x$.

Ответ: Выражение $\sqrt{x^2 - 10x + 27}$ имеет смысл при любом значении $x$.