Номер 409, страница 103 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 12. Квадратные корни. Арифметический квадратный корень. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа - номер 409, страница 103.

Условие.

409. Докажите, что не существует такого значения $x$, при котором имеет смысл выражение $\sqrt{-x^2 + 6x - 12}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для того чтобы выражение $\sqrt{-x^2 + 6x - 12}$ имело смысл в области действительных чисел, необходимо и достаточно, чтобы его подкоренное выражение было неотрицательным. То есть, должно выполняться неравенство:

$-x^2 + 6x - 12 \ge 0$

Чтобы доказать, что не существует такого значения $x$, при котором это неравенство верно, мы исследуем знак квадратичного трехчлена $-x^2 + 6x - 12$.

Рассмотрим квадратичную функцию $y(x) = -x^2 + 6x - 12$. Графиком этой функции является парабола. Старший коэффициент $a = -1$ отрицателен, следовательно, ветви параболы направлены вниз.

Теперь определим, пересекает ли эта парабола ось абсцисс ($Ox$), то есть имеет ли уравнение $-x^2 + 6x - 12 = 0$ действительные корни. Для этого вычислим дискриминант $D$.

$D = b^2 - 4ac$

Для нашего уравнения $a = -1$, $b = 6$, $c = -12$:

$D = 6^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-12) = 36 - 48 = -12$

Поскольку дискриминант $D = -12 < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что график функции $y = -x^2 + 6x - 12$ не имеет точек пересечения с осью $Ox$.

Так как ветви параболы направлены вниз и она не пересекает ось $Ox$, вся парабола целиком расположена ниже оси $Ox$. Это означает, что для любого действительного значения $x$ значение функции $y = -x^2 + 6x - 12$ всегда отрицательно.

Следовательно, неравенство $-x^2 + 6x - 12 \ge 0$ не имеет решений. Так как подкоренное выражение всегда отрицательно, извлечь из него квадратный корень в области действительных чисел невозможно.

Ответ: Утверждение доказано. Не существует такого значения $x$, при котором выражение $\sqrt{-x^2 + 6x - 12}$ имеет смысл, так как подкоренное выражение $-x^2 + 6x - 12$ всегда отрицательно.