Номер 413, страница 103 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 12. Квадратные корни. Арифметический квадратный корень. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа - номер 413, страница 103.

Условие.

413. При каком значении $a$ уравнение $x^2 = a + 1$:

1) имеет два корня;

2) имеет один корень;

3) не имеет корней?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Данное уравнение $x^2 = a + 1$ является простейшим квадратным уравнением. Количество его корней зависит от знака выражения в правой части, то есть от знака $a + 1$, поскольку левая часть $x^2$ всегда неотрицательна (то есть $x^2 \ge 0$) для любого действительного числа $x$. Мы рассмотрим три случая.

1) имеет два корня;
Уравнение имеет два различных действительных корня, если правая часть уравнения является строго положительным числом. Это связано с тем, что для любого положительного числа $k$ существуют два числа, квадрат которых равен $k$: $\sqrt{k}$ и $-\sqrt{k}$.
Следовательно, для того чтобы уравнение имело два корня, должно выполняться неравенство:
$a + 1 > 0$
Решая это неравенство относительно $a$, получаем:
$a > -1$
При выполнении этого условия корнями уравнения будут $x_1 = \sqrt{a+1}$ и $x_2 = -\sqrt{a+1}$.
Ответ: при $a > -1$.

2) имеет один корень;
Уравнение имеет ровно один корень, если его правая часть равна нулю. В этом случае уравнение принимает вид $x^2 = 0$, единственным решением которого является $x = 0$.
Следовательно, для того чтобы уравнение имело один корень, должно выполняться равенство:
$a + 1 = 0$
Решая это уравнение относительно $a$, получаем:
$a = -1$
Ответ: при $a = -1$.

3) не имеет корней?
Уравнение не имеет действительных корней, если его правая часть является отрицательным числом. Это связано с тем, что квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.
Следовательно, для того чтобы уравнение не имело корней, должно выполняться неравенство:
$a + 1 < 0$
Решая это неравенство относительно $a$, получаем:
$a < -1$
Ответ: при $a < -1$.