Номер 415, страница 103 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 12. Квадратные корни. Арифметический квадратный корень. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа - номер 415, страница 103.

Условие.

415. Постройте график функции $y = \sqrt{2x - 1 - x^2 - 1}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для построения графика функции $y = \sqrt{2x - 1 - x^2} - 1$ найдем ее область определения. Выражение, находящееся под знаком квадратного корня, должно быть неотрицательным, то есть:

$2x - 1 - x^2 \ge 0$

Умножим обе части неравенства на $-1$ и сменим знак неравенства на противоположный:

$x^2 - 2x + 1 \le 0$

Левая часть неравенства представляет собой полный квадрат разности:

$(x - 1)^2 \le 0$

Поскольку квадрат любого действительного числа всегда является неотрицательной величиной (то есть $(x - 1)^2 \ge 0$), данное неравенство может выполняться только в одном случае — когда левая часть равна нулю:

$(x - 1)^2 = 0$

Отсюда следует, что:

$x - 1 = 0$

$x = 1$

Таким образом, область определения функции состоит из единственной точки $x = 1$.

Теперь найдем значение функции в этой точке, подставив $x=1$ в исходное уравнение:

$y(1) = \sqrt{2 \cdot 1 - 1 - 1^2} - 1 = \sqrt{2 - 1 - 1} - 1 = \sqrt{0} - 1 = 0 - 1 = -1$

Следовательно, график данной функции состоит из одной-единственной точки на координатной плоскости.

Ответ: Графиком функции является точка с координатами $(1; -1)$.