Номер 412, страница 103 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 12. Квадратные корни. Арифметический квадратный корень. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа - номер 412, страница 103.

Условие.

412. Решите уравнение:

1) $\sqrt{x} + \sqrt{-x} = 0;$

2) $\sqrt{x} + \sqrt{-x} = 1;$

3) $\sqrt{x^2 - 2x + 1} + \sqrt{x^2 - 1} = 0;$

4) $(x - 2)\sqrt{x - 3} = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $\sqrt{x} + \sqrt{-x} = 0$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком квадратного корня должны быть неотрицательными. Это приводит к системе неравенств:

$\begin{cases} x \ge 0 \\ -x \ge 0 \end{cases}$

Из второго неравенства следует, что $x \le 0$. Единственное значение $x$, которое одновременно удовлетворяет условиям $x \ge 0$ и $x \le 0$, это $x=0$. Таким образом, ОДЗ состоит из одной точки.

Подставим $x=0$ в исходное уравнение, чтобы проверить, является ли оно решением:

$\sqrt{0} + \sqrt{-0} = 0 + 0 = 0$

$0 = 0$

Равенство верное, следовательно, $x=0$ — единственное решение уравнения.

Ответ: $0$.

2) $\sqrt{x} + \sqrt{-x} = 1$

Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения такая же, как и в предыдущем пункте, и состоит из единственного значения $x=0$.

Подставим это значение в уравнение:

$\sqrt{0} + \sqrt{-0} = 0 + 0 = 0$

В результате подстановки мы получаем равенство $0 = 1$, которое является ложным. Поскольку других допустимых значений для $x$ не существует, уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений.

3) $\sqrt{x^2 - 2x + 1} + \sqrt{x^2 - 1} = 0$

Упростим выражение под первым корнем. Заметим, что $x^2 - 2x + 1$ является полным квадратом разности: $(x-1)^2$.

Уравнение принимает вид:

$\sqrt{(x-1)^2} + \sqrt{x^2 - 1} = 0$

По определению корня, $\sqrt{a^2} = |a|$, поэтому уравнение можно переписать как:

$|x-1| + \sqrt{x^2 - 1} = 0$

В левой части уравнения стоит сумма двух неотрицательных слагаемых: модуль $|x-1| \ge 0$ и квадратный корень $\sqrt{x^2 - 1} \ge 0$. Сумма двух неотрицательных выражений равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из них равно нулю. Получаем систему уравнений:

$\begin{cases} |x-1| = 0 \\ \sqrt{x^2 - 1} = 0 \end{cases}$

Из первого уравнения следует, что $x-1 = 0$, то есть $x=1$.

Из второго уравнения следует, что $x^2 - 1 = 0$, то есть $x^2 = 1$, откуда $x=1$ или $x=-1$.

Решением системы является значение, которое удовлетворяет обоим уравнениям. Этим значением является $x=1$. Необходимо также проверить, входит ли это значение в ОДЗ. ОДЗ определяется неравенством $x^2-1 \ge 0$, то есть $x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$. Значение $x=1$ принадлежит ОДЗ.

Ответ: $1$.

4) $(x-2)\sqrt{x-3} = 0$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$x - 3 \ge 0 \implies x \ge 3$

Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю. Рассмотрим два случая:

1. Первый множитель равен нулю: $x-2 = 0 \implies x=2$.

2. Второй множитель равен нулю: $\sqrt{x-3} = 0 \implies x-3 = 0 \implies x=3$.

Теперь проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ ($x \ge 3$).

Корень $x=2$ не входит в ОДЗ, так как $2 < 3$. Следовательно, это посторонний корень.

Корень $x=3$ входит в ОДЗ, так как $3 \ge 3$. Следовательно, это является решением.

Ответ: $3$.