Номер 406, страница 103 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 12. Квадратные корни. Арифметический квадратный корень. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа - номер 406, страница 103.

Условие.

406. Решите уравнение:

1) $\sqrt{17+\sqrt{x-6}}=5;$

2) $\sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{x}}}=1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $\sqrt{17 + \sqrt{\sqrt{x} - 6}} = 5$
Чтобы решить данное иррациональное уравнение, будем последовательно возводить обе его части в квадрат.
Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от внешнего корня:
$(\sqrt{17 + \sqrt{\sqrt{x} - 6}})^2 = 5^2$
$17 + \sqrt{\sqrt{x} - 6} = 25$
Теперь изолируем оставшийся радикал, перенеся 17 в правую часть:
$\sqrt{\sqrt{x} - 6} = 25 - 17$
$\sqrt{\sqrt{x} - 6} = 8$
Снова возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{\sqrt{x} - 6})^2 = 8^2$
$\sqrt{x} - 6 = 64$
Теперь выразим $\sqrt{x}$:
$\sqrt{x} = 64 + 6$
$\sqrt{x} = 70$
Для нахождения $x$ еще раз возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{x})^2 = 70^2$
$x = 4900$
Выполним проверку. Область допустимых значений (ОДЗ) определяется тем, что все подкоренные выражения должны быть неотрицательны: $x \ge 0$ и $\sqrt{x} - 6 \ge 0$. Из второго неравенства следует $\sqrt{x} \ge 6$, то есть $x \ge 36$.Найденный корень $x=4900$ удовлетворяет условию $x \ge 36$.Подставим значение в исходное уравнение:
$\sqrt{17 + \sqrt{\sqrt{4900} - 6}} = \sqrt{17 + \sqrt{70 - 6}} = \sqrt{17 + \sqrt{64}} = \sqrt{17 + 8} = \sqrt{25} = 5$.
$5 = 5$. Равенство верное, значит, корень найден правильно.
Ответ: $4900$.

2) $\sqrt{1 + \sqrt{2 + \sqrt{x}}} = 1$
Для решения этого уравнения также будем последовательно возводить обе части в квадрат.
Возводим обе части в квадрат:
$(\sqrt{1 + \sqrt{2 + \sqrt{x}}})^2 = 1^2$
$1 + \sqrt{2 + \sqrt{x}} = 1$
Вычтем 1 из обеих частей уравнения:
$\sqrt{2 + \sqrt{x}} = 1 - 1$
$\sqrt{2 + \sqrt{x}} = 0$
Снова возводим обе части в квадрат:
$(\sqrt{2 + \sqrt{x}})^2 = 0^2$
$2 + \sqrt{x} = 0$
Теперь выразим $\sqrt{x}$:
$\sqrt{x} = -2$
Полученное уравнение не имеет решений в действительных числах, так как по определению арифметический квадратный корень не может быть отрицательным числом (т.е. $\sqrt{x} \ge 0$ для любого $x$ из области определения).
Ответ: нет корней.