Номер 399, страница 102 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 12. Квадратные корни. Арифметический квадратный корень. Упражнения - номер 399, страница 102.

Условие.

399. При каких значениях x имеет смысл выражение:

1) $\sqrt{x}$;

2) $\sqrt{-x}$;

3) $\sqrt{x^2}$;

4) $\sqrt{-x^2}$;

5) $\sqrt{x-8}$;

6) $\sqrt{8-x}$;

7) $\sqrt{x^2+8}$;

8) $\sqrt{(x-8)^2}$;

9) $\frac{1}{\sqrt{(x-8)^2}}$;

10) $\frac{1}{\sqrt{x-3}}$;

11) $\frac{1}{\sqrt{x+3}}$;

12) $\sqrt{x} \cdot \sqrt{-x}$;

13) $\frac{1}{\sqrt{x} \cdot \sqrt{-x}}$;

14) $\sqrt{|x|}$;

15) $\sqrt{-|x|}$;

16) $\frac{1}{\sqrt{|x|}}$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Выражение $\sqrt{x}$ имеет смысл (определено), когда выражение под знаком квадратного корня неотрицательно.
$x \ge 0$
Ответ: $x \ge 0$.

2) Выражение $\sqrt{-x}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно.
$-x \ge 0$
Умножив обе части неравенства на -1 и изменив знак неравенства на противоположный, получим:
$x \le 0$
Ответ: $x \le 0$.

3) Выражение $\sqrt{x^2}$ имеет смысл, когда $x^2 \ge 0$.
Квадрат любого действительного числа всегда больше или равен нулю. Следовательно, это неравенство выполняется для любого значения $x$.
Ответ: $x$ - любое число.

4) Выражение $\sqrt{-x^2}$ имеет смысл, когда $-x^2 \ge 0$.
Умножив на -1, получим $x^2 \le 0$.
Поскольку $x^2$ никогда не бывает отрицательным ($x^2 \ge 0$), единственное значение $x$, удовлетворяющее условию $x^2 \le 0$, это $x^2 = 0$.
$x = 0$
Ответ: $x = 0$.

5) Выражение $\sqrt{x-8}$ имеет смысл, когда $x-8 \ge 0$.
$x \ge 8$
Ответ: $x \ge 8$.

6) Выражение $\sqrt{8-x}$ имеет смысл, когда $8-x \ge 0$.
$8 \ge x$, или $x \le 8$.
Ответ: $x \le 8$.

7) Выражение $\sqrt{x^2+8}$ имеет смысл, когда $x^2+8 \ge 0$.
Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого $x$, то $x^2+8 \ge 0+8=8$. Так как $8 > 0$, неравенство $x^2+8 \ge 0$ выполняется для всех действительных чисел $x$.
Ответ: $x$ - любое число.

8) Выражение $\sqrt{(x-8)^2}$ имеет смысл, когда $(x-8)^2 \ge 0$.
Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Следовательно, это неравенство выполняется для любого значения $x$.
Ответ: $x$ - любое число.

9) Выражение $\frac{1}{\sqrt{(x-8)^2}}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение в знаменателе строго больше нуля (так как оно под корнем и в знаменателе).
$(x-8)^2 > 0$
Квадрат выражения равен нулю только тогда, когда само выражение равно нулю. То есть, $(x-8)^2 = 0$ при $x=8$. Во всех остальных случаях $(x-8)^2 > 0$.
Следовательно, $x \neq 8$.
Ответ: $x \neq 8$.

10) Выражение $\frac{1}{\sqrt{x}-3}$ имеет смысл при выполнении двух условий:
1) Подкоренное выражение неотрицательно: $x \ge 0$.
2) Знаменатель не равен нулю: $\sqrt{x}-3 \neq 0$.
Из второго условия получаем $\sqrt{x} \neq 3$. Возведя обе части в квадрат, получим $x \neq 9$.
Объединяя оба условия, получаем, что $x$ может быть любым неотрицательным числом, кроме 9.
Ответ: $x \ge 0$ и $x \neq 9$.

11) Выражение $\frac{1}{\sqrt{x}+3}$ имеет смысл при выполнении двух условий:
1) $x \ge 0$.
2) $\sqrt{x}+3 \neq 0$.
Поскольку из первого условия $\sqrt{x} \ge 0$, то $\sqrt{x}+3 \ge 0+3=3$. Знаменатель всегда положителен и никогда не равен нулю.
Таким образом, остается только первое условие.
Ответ: $x \ge 0$.

12) Выражение $\sqrt{x} \cdot \sqrt{-x}$ имеет смысл, когда оба множителя имеют смысл.
1) Для $\sqrt{x}$: $x \ge 0$.
2) Для $\sqrt{-x}$: $-x \ge 0 \implies x \le 0$.
Нужно найти значения $x$, которые удовлетворяют обоим неравенствам одновременно: $x \ge 0$ и $x \le 0$. Единственное такое число — это 0.
Ответ: $x = 0$.

13) Выражение $\frac{1}{\sqrt{x} \cdot \sqrt{-x}}$ имеет смысл, когда подкоренные выражения неотрицательны и знаменатель не равен нулю.
1) Условия для подкоренных выражений ($x \ge 0$ и $-x \ge 0$) дают единственное возможное значение $x=0$, как и в предыдущем пункте.
2) Проверим знаменатель при $x=0$: $\sqrt{0} \cdot \sqrt{-0} = 0 \cdot 0 = 0$.
Деление на ноль недопустимо. Так как единственное значение $x$, при котором подкоренные выражения определены, обращает знаменатель в ноль, то нет таких значений $x$, при которых данное выражение имело бы смысл.
Ответ: выражение не имеет смысла ни при каких $x$.

14) Выражение $\sqrt{|x|}$ имеет смысл, когда $|x| \ge 0$.
Модуль любого действительного числа всегда неотрицателен. Следовательно, это неравенство выполняется для любого значения $x$.
Ответ: $x$ - любое число.

15) Выражение $\sqrt{-|x|}$ имеет смысл, когда $-|x| \ge 0$.
Умножив на -1, получим $|x| \le 0$.
Поскольку $|x| \ge 0$ по определению, единственное значение $x$, удовлетворяющее условию $|x| \le 0$, это $|x| = 0$.
$x = 0$
Ответ: $x = 0$.

16) Выражение $\frac{1}{\sqrt{|x|}}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение в знаменателе строго больше нуля.
$|x| > 0$
Модуль числа равен нулю только тогда, когда само число равно нулю ($|x|=0$ при $x=0$). Во всех остальных случаях модуль числа положителен.
Следовательно, $x \neq 0$.
Ответ: $x \neq 0$.