Номер 401, страница 102 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 12. Квадратные корни. Арифметический квадратный корень. Упражнения - номер 401, страница 102.

Условие.

401. Решите уравнение:

1) $\sqrt{5x - 4} = 0;$

2) $\sqrt{5x - 4} = 0;$

3) $\sqrt{5x - 4} = 6;$

4) $\frac{42}{\sqrt{r}} = 6;$

5) $\frac{18}{\sqrt{x+3}} = 9;$

6) $\sqrt{x^2 - 36} = 8.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Дано уравнение: $\sqrt{5x} - 4 = 0$.

Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения определяется условием, что выражение под корнем должно быть неотрицательным: $5x \ge 0$, откуда $x \ge 0$.

Перенесем слагаемое -4 в правую часть уравнения:

$\sqrt{5x} = 4$

Так как правая часть уравнения (4) положительна, мы можем возвести обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от знака корня:

$(\sqrt{5x})^2 = 4^2$

$5x = 16$

Теперь найдем $x$, разделив обе части на 5:

$x = \frac{16}{5} = 3.2$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ: $3.2 \ge 0$. Условие выполняется.

Выполним проверку, подставив $x = 3.2$ в исходное уравнение:

$\sqrt{5 \cdot 3.2} - 4 = \sqrt{16} - 4 = 4 - 4 = 0$

$0 = 0$. Равенство верное.

Ответ: $3.2$

2)

Дано уравнение: $\sqrt{5x-4} = 0$.

ОДЗ: выражение под корнем должно быть неотрицательным: $5x - 4 \ge 0$, откуда $5x \ge 4$ и $x \ge \frac{4}{5}$.

Квадратный корень равен нулю тогда и только тогда, когда подкоренное выражение равно нулю. Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{5x-4})^2 = 0^2$

$5x - 4 = 0$

Решим полученное линейное уравнение:

$5x = 4$

$x = \frac{4}{5} = 0.8$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ: $0.8 \ge \frac{4}{5}$. Условие выполняется, так как $0.8 = \frac{4}{5}$.

Проверка: $\sqrt{5 \cdot 0.8 - 4} = \sqrt{4-4} = \sqrt{0} = 0$. Равенство верное.

Ответ: $0.8$

3)

Дано уравнение: $\sqrt{5x-4} = 6$.

ОДЗ: $5x - 4 \ge 0$, откуда $x \ge \frac{4}{5}$.

Правая часть уравнения (6) положительна, поэтому возводим обе части в квадрат:

$(\sqrt{5x-4})^2 = 6^2$

$5x - 4 = 36$

Перенесем -4 в правую часть:

$5x = 36 + 4$

$5x = 40$

Разделим обе части на 5:

$x = \frac{40}{5} = 8$

Проверим ОДЗ: $8 \ge \frac{4}{5}$. Условие выполняется.

Проверка: $\sqrt{5 \cdot 8 - 4} = \sqrt{40 - 4} = \sqrt{36} = 6$. Равенство верное.

Ответ: $8$

4)

Дано уравнение: $\frac{42}{\sqrt{x}} = 6$.

ОДЗ: подкоренное выражение должно быть строго положительным, так как оно находится в знаменателе: $x > 0$.

Выразим $\sqrt{x}$ из уравнения. Для этого можно поменять местами $\sqrt{x}$ и 6:

$\sqrt{x} = \frac{42}{6}$

$\sqrt{x} = 7$

Возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{x})^2 = 7^2$

$x = 49$

Проверим ОДЗ: $49 > 0$. Условие выполняется.

Проверка: $\frac{42}{\sqrt{49}} = \frac{42}{7} = 6$. Равенство верное.

Ответ: $49$

5)

Дано уравнение: $\frac{18}{\sqrt{x+3}} = 9$.

ОДЗ: выражение под корнем в знаменателе должно быть строго положительным: $x+3 > 0$, откуда $x > -3$.

Выразим $\sqrt{x+3}$ из уравнения:

$\sqrt{x+3} = \frac{18}{9}$

$\sqrt{x+3} = 2$

Возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{x+3})^2 = 2^2$

$x+3 = 4$

Найдем $x$:

$x = 4 - 3$

$x = 1$

Проверим ОДЗ: $1 > -3$. Условие выполняется.

Проверка: $\frac{18}{\sqrt{1+3}} = \frac{18}{\sqrt{4}} = \frac{18}{2} = 9$. Равенство верное.

Ответ: $1$

6)

Дано уравнение: $\sqrt{x^2 - 36} = 8$.

ОДЗ: выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x^2 - 36 \ge 0$.

Это неравенство можно переписать как $x^2 \ge 36$, что эквивалентно $|x| \ge 6$, то есть $x \le -6$ или $x \ge 6$.

Правая часть уравнения (8) положительна, возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{x^2-36})^2 = 8^2$

$x^2 - 36 = 64$

Перенесем -36 в правую часть:

$x^2 = 64 + 36$

$x^2 = 100$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$x_1 = 10$, $x_2 = -10$

Проверим оба корня на соответствие ОДЗ:

Для $x_1=10$: $10 \ge 6$. Условие выполняется.

Для $x_2=-10$: $-10 \le -6$. Условие выполняется.

Оба корня подходят. Сделаем проверку для обоих:

При $x=10$: $\sqrt{10^2 - 36} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$. Верно.

При $x=-10$: $\sqrt{(-10)^2 - 36} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$. Верно.

Ответ: $-10; 10$