Номер 411, страница 103 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 12. Квадратные корни. Арифметический квадратный корень. Упражнения - номер 411, страница 103.

Условие.

411. Решите уравнение:

1) $\sqrt{x} = -x;$

2) $\sqrt{x} + \sqrt{x-1} = 0;$

3) $\sqrt{x^2 - x} + \sqrt{x-1} = 0;$

4) $\sqrt{x^2 + 2x} + \sqrt{x^2 - 4} = 0;$

5) $(x-1)\sqrt{x+1} = 0;$

6) $(x+1)\sqrt{x-1} = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $\sqrt{x} = -x$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.

Левая часть уравнения, $\sqrt{x}$, по определению арифметического квадратного корня, всегда неотрицательна, то есть $\sqrt{x} \ge 0$. Правая часть уравнения, $-x$, при условии ОДЗ ($x \ge 0$) будет неположительной, то есть $-x \le 0$.

Равенство неотрицательного и неположительного выражений возможно только в том случае, если оба они равны нулю. $\sqrt{x} = 0 \implies x = 0$. Проверим: $\sqrt{0} = -0 \implies 0 = 0$. Это верное равенство.

Можно решить и другим способом, возведя обе части в квадрат. $(\sqrt{x})^2 = (-x)^2$ $x = x^2$ $x^2 - x = 0$ $x(x-1) = 0$ Получаем два потенциальных корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$.

Проверим их, подставив в исходное уравнение:

• При $x = 0$: $\sqrt{0} = -0 \implies 0 = 0$. Верно.
• При $x = 1$: $\sqrt{1} = -1 \implies 1 = -1$. Неверно. Корень $x=1$ является посторонним.

Следовательно, у уравнения только один корень.

Ответ: $x=0$.

2) $\sqrt{x} + \sqrt{x-1} = 0$

ОДЗ: $\begin{cases} x \ge 0 \\ x-1 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 0 \\ x \ge 1 \end{cases} \implies x \ge 1$.

В левой части уравнения стоит сумма двух неотрицательных слагаемых $\sqrt{x}$ и $\sqrt{x-1}$. Сумма неотрицательных слагаемых равна нулю тогда и только тогда, когда каждое слагаемое равно нулю. $\begin{cases} \sqrt{x} = 0 \\ \sqrt{x-1} = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x = 0 \\ x = 1 \end{cases}$.

Эта система не имеет решений, так как $x$ не может одновременно быть равен 0 и 1. Кроме того, корень $x=0$ не входит в ОДЗ ($x \ge 1$).

Ответ: нет решений.

3) $\sqrt{x^2-x} + \sqrt{x-1} = 0$

ОДЗ: $\begin{cases} x^2-x \ge 0 \\ x-1 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x(x-1) \ge 0 \\ x \ge 1 \end{cases}$. Решением первого неравенства является $x \in (-\infty, 0] \cup [1, \infty)$. Пересекая это с условием $x \ge 1$, получаем ОДЗ: $x \ge 1$.

Сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю, если каждое из них равно нулю. $\begin{cases} \sqrt{x^2-x} = 0 \\ \sqrt{x-1} = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x^2-x = 0 \\ x-1 = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x(x-1) = 0 \\ x = 1 \end{cases}$.

Из второго уравнения системы получаем $x=1$. Подставим это значение в первое уравнение: $1(1-1) = 0$. Верно. Значение $x=1$ удовлетворяет обоим уравнениям системы и входит в ОДЗ.

Ответ: $x=1$.

4) $\sqrt{x^2+2x} + \sqrt{x^2-4} = 0$

ОДЗ: $\begin{cases} x^2+2x \ge 0 \\ x^2-4 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x(x+2) \ge 0 \\ (x-2)(x+2) \ge 0 \end{cases}$. Решением первого неравенства является $x \in (-\infty, -2] \cup [0, \infty)$. Решением второго неравенства является $x \in (-\infty, -2] \cup [2, \infty)$. Пересечение этих множеств дает ОДЗ: $x \in (-\infty, -2] \cup [2, \infty)$.

Сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю, если каждое из них равно нулю. $\begin{cases} \sqrt{x^2+2x} = 0 \\ \sqrt{x^2-4} = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x^2+2x = 0 \\ x^2-4 = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x(x+2) = 0 \\ (x-2)(x+2) = 0 \end{cases}$.

Корни первого уравнения: $x=0$ и $x=-2$. Корни второго уравнения: $x=2$ и $x=-2$. Общим корнем для обоих уравнений является $x=-2$. Этот корень входит в ОДЗ.

Ответ: $x=-2$.

5) $(x-1)\sqrt{x+1} = 0$

ОДЗ: $x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$.

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. 1) $x-1 = 0 \implies x = 1$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($1 \ge -1$). 2) $\sqrt{x+1} = 0 \implies x+1=0 \implies x = -1$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($-1 \ge -1$).

Уравнение имеет два корня.

Ответ: $x_1=-1, x_2=1$.

6) $(x+1)\sqrt{x-1} = 0$

ОДЗ: $x-1 \ge 0 \implies x \ge 1$.

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. 1) $x+1 = 0 \implies x = -1$. Этот корень не удовлетворяет ОДЗ ($-1 < 1$), поэтому является посторонним. 2) $\sqrt{x-1} = 0 \implies x-1=0 \implies x = 1$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($1 \ge 1$).

Уравнение имеет только один корень.

Ответ: $x=1$.