Номер 416, страница 103 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 12. Квадратные корни. Арифметический квадратный корень. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа - номер 416, страница 103.

Условие.

416. Для каждого значения a решите уравнение:

1) $a\sqrt{x-1} = 0;$

2) $\sqrt{(a-1)x} = 0;$

3) $a\sqrt{x-1} = a;$

4) $\sqrt{x-2} = a.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Решение уравнения $a\sqrt{x-1} = 0$.

Область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$ определяется тем, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x-1 \ge 0$, откуда $x \ge 1$.

Данное уравнение представляет собой произведение двух множителей, которое равно нулю. Это возможно, если хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая в зависимости от значения параметра $a$.

Случай 1: $a = 0$.

Уравнение принимает вид $0 \cdot \sqrt{x-1} = 0$, или $0 = 0$. Это равенство является верным для любого значения $x$ из области допустимых значений.

Следовательно, при $a=0$ решением является любое число $x$ из промежутка $[1, +\infty)$.

Случай 2: $a \neq 0$.

Если $a \neq 0$, то для равенства нулю произведения необходимо, чтобы второй множитель был равен нулю: $\sqrt{x-1} = 0$.

Возводим обе части уравнения в квадрат: $x-1 = 0$.

Отсюда находим $x = 1$. Это значение удовлетворяет ОДЗ ($1 \ge 1$).

Таким образом, при $a \neq 0$ уравнение имеет единственный корень $x=1$.

Ответ: если $a=0$, то $x \in [1, +\infty)$; если $a \neq 0$, то $x=1$.

2) Решение уравнения $\sqrt{(a-1)x} = 0$.

ОДЗ: $(a-1)x \ge 0$.

Чтобы избавиться от корня, возведем обе части уравнения в квадрат:

$(a-1)x = 0$.

Это линейное уравнение относительно $x$. Его решение зависит от значения коэффициента при $x$, то есть от выражения $(a-1)$.

Случай 1: $a-1 = 0$, то есть $a=1$.

Уравнение принимает вид $0 \cdot x = 0$. Это равенство верно для любого действительного числа $x$.

При этом ОДЗ $(1-1)x \ge 0$ превращается в $0 \ge 0$, что также верно для любого $x$.

Следовательно, при $a=1$ решением является любое действительное число, $x \in (-\infty, +\infty)$.

Случай 2: $a-1 \neq 0$, то есть $a \neq 1$.

В этом случае уравнение $(a-1)x = 0$ имеет единственный корень $x = \frac{0}{a-1} = 0$.

Проверим, удовлетворяет ли этот корень ОДЗ: $(a-1) \cdot 0 \ge 0$, то есть $0 \ge 0$. Условие выполняется для любого $a \neq 1$.

Следовательно, при $a \neq 1$ уравнение имеет единственный корень $x=0$.

Ответ: если $a=1$, то $x \in (-\infty, +\infty)$; если $a \neq 1$, то $x=0$.

3) Решение уравнения $a\sqrt{x-1} = a$.

ОДЗ: $x-1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1$.

Рассмотрим два случая для параметра $a$.

Случай 1: $a=0$.

Уравнение принимает вид $0 \cdot \sqrt{x-1} = 0$, или $0=0$.

Это равенство верно для всех $x$ из ОДЗ.

Следовательно, при $a=0$ решением является любое число $x$ из промежутка $[1, +\infty)$.

Случай 2: $a \neq 0$.

При $a \neq 0$ можно разделить обе части уравнения на $a$:

$\sqrt{x-1} = 1$.

Возводим обе части в квадрат (это возможно, так как обе части неотрицательны):

$x-1 = 1^2$

$x-1 = 1$

$x = 2$.

Проверяем корень по ОДЗ: $2 \ge 1$. Условие выполнено.

Следовательно, при $a \neq 0$ уравнение имеет единственный корень $x=2$.

Ответ: если $a=0$, то $x \in [1, +\infty)$; если $a \neq 0$, то $x=2$.

4) Решение уравнения $\sqrt{x-2} = a$.

ОДЗ: $x-2 \ge 0 \Rightarrow x \ge 2$.

По определению, арифметический квадратный корень $\sqrt{x-2}$ не может быть отрицательным. Значит, для существования решений необходимо, чтобы правая часть уравнения также была неотрицательной.

Случай 1: $a < 0$.

В этом случае левая часть уравнения неотрицательна, а правая — отрицательна. Равенство невозможно, следовательно, уравнение не имеет решений.

Случай 2: $a \ge 0$.

При этом условии обе части уравнения неотрицательны, и мы можем возвести их в квадрат:

$(\sqrt{x-2})^2 = a^2$

$x-2 = a^2$

$x = a^2 + 2$.

Проверим, удовлетворяет ли найденное решение ОДЗ ($x \ge 2$):

$a^2 + 2 \ge 2$.

$a^2 \ge 0$.

Это неравенство верно для любого действительного числа $a$, значит, оно верно и для нашего случая $a \ge 0$.

Следовательно, при $a \ge 0$ уравнение имеет единственный корень $x = a^2 + 2$.

Ответ: если $a < 0$, то корней нет; если $a \ge 0$, то $x = a^2 + 2$.