Номер 417, страница 103 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение, Вентана-граф
Год издания: 2018 - 2022
Цвет обложки: розовый, фиолетовый, голубой с папками
ISBN: 978-5-360-12162-6
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 8 классе
Упражнения. Параграф 12. Квадратные корни. Арифметический квадратный корень. Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа - номер 417, страница 103.
№417 (с. 103)
Условие. №417 (с. 103)
скриншот условия

417. При каких значениях $a$ уравнение $(\sqrt{x}-1)(x-a) = 0$ имеет только один корень?
Решение 1. №417 (с. 103)

Решение 2. №417 (с. 103)

Решение 3. №417 (с. 103)

Решение 5. №417 (с. 103)

Решение 6. №417 (с. 103)

Решение 7. №417 (с. 103)

Решение 8. №417 (с. 103)
Данное уравнение $(\sqrt{x}-1)(x-a) = 0$ представляет собой произведение двух множителей, равное нулю. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, при условии, что все выражения определены.
Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Так как в уравнении есть выражение $\sqrt{x}$, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x \ge 0$. Все корни уравнения должны удовлетворять этому условию.
Теперь рассмотрим два случая, когда произведение равно нулю:
1. Первый множитель равен нулю: $\sqrt{x} - 1 = 0$ $\sqrt{x} = 1$ Возводим обе части в квадрат и получаем корень: $x_1 = 1$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($1 \ge 0$), следовательно, $x = 1$ является корнем исходного уравнения при любом значении параметра $a$.
2. Второй множитель равен нулю: $x - a = 0$ $x_2 = a$. Этот корень $x_2$ должен удовлетворять ОДЗ, то есть $x_2 \ge 0$. Это означает, что $x=a$ является корнем уравнения только при условии $a \ge 0$.
Уравнение должно иметь только один корень. Поскольку корень $x_1=1$ существует всегда, нам нужно рассмотреть два сценария, при которых не появится второй, отличный от него, корень.
Случай 1: Второй корень $x_2=a$ не удовлетворяет ОДЗ. Это происходит, когда $a < 0$. В этом случае $x=a$ не является решением, так как не входит в ОДЗ. Единственным решением остается $x_1 = 1$. Таким образом, при $a < 0$ уравнение имеет ровно один корень.
Случай 2: Второй корень $x_2=a$ существует, но совпадает с первым корнем $x_1=1$. Для существования корня $x_2=a$ необходимо, чтобы $a \ge 0$. Чтобы корень был единственным, он должен совпадать с уже найденным корнем $x_1=1$: $x_2 = x_1$ $a = 1$. Значение $a=1$ удовлетворяет условию $a \ge 0$. При $a=1$ уравнение принимает вид $(\sqrt{x}-1)(x-1)=0$, и оба множителя дают один и тот же корень $x=1$. Следовательно, при $a=1$ уравнение имеет ровно один корень.
Объединяя оба случая, мы получаем, что уравнение имеет только один корень, если $a < 0$ или если $a=1$.
Ответ: $a \in (-\infty; 0) \cup \{1\}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 417 расположенного на странице 103 к учебнику 2018 - 2022 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №417 (с. 103), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), учебного пособия издательства Просвещение, Вентана-граф.