Номер 417, страница 103 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 2. Квадратные корни. Действительные числа. Параграф 12. Квадратные корни. Арифметический квадратный корень. Упражнения - номер 417, страница 103.

Условие.

417. При каких значениях $a$ уравнение $(\sqrt{x}-1)(x-a) = 0$ имеет только один корень?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Данное уравнение $(\sqrt{x}-1)(x-a) = 0$ представляет собой произведение двух множителей, равное нулю. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, при условии, что все выражения определены.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Так как в уравнении есть выражение $\sqrt{x}$, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x \ge 0$. Все корни уравнения должны удовлетворять этому условию.

Теперь рассмотрим два случая, когда произведение равно нулю:

1. Первый множитель равен нулю: $\sqrt{x} - 1 = 0$ $\sqrt{x} = 1$ Возводим обе части в квадрат и получаем корень: $x_1 = 1$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($1 \ge 0$), следовательно, $x = 1$ является корнем исходного уравнения при любом значении параметра $a$.

2. Второй множитель равен нулю: $x - a = 0$ $x_2 = a$. Этот корень $x_2$ должен удовлетворять ОДЗ, то есть $x_2 \ge 0$. Это означает, что $x=a$ является корнем уравнения только при условии $a \ge 0$.

Уравнение должно иметь только один корень. Поскольку корень $x_1=1$ существует всегда, нам нужно рассмотреть два сценария, при которых не появится второй, отличный от него, корень.

Случай 1: Второй корень $x_2=a$ не удовлетворяет ОДЗ. Это происходит, когда $a < 0$. В этом случае $x=a$ не является решением, так как не входит в ОДЗ. Единственным решением остается $x_1 = 1$. Таким образом, при $a < 0$ уравнение имеет ровно один корень.

Случай 2: Второй корень $x_2=a$ существует, но совпадает с первым корнем $x_1=1$. Для существования корня $x_2=a$ необходимо, чтобы $a \ge 0$. Чтобы корень был единственным, он должен совпадать с уже найденным корнем $x_1=1$: $x_2 = x_1$ $a = 1$. Значение $a=1$ удовлетворяет условию $a \ge 0$. При $a=1$ уравнение принимает вид $(\sqrt{x}-1)(x-1)=0$, и оба множителя дают один и тот же корень $x=1$. Следовательно, при $a=1$ уравнение имеет ровно один корень.

Объединяя оба случая, мы получаем, что уравнение имеет только один корень, если $a < 0$ или если $a=1$.

Ответ: $a \in (-\infty; 0) \cup \{1\}$.