Страница 103 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

406. Решите уравнение:

1) $\sqrt{17+\sqrt{x-6}}=5;$

2) $\sqrt{1+\sqrt{2+\sqrt{x}}}=1.$

1) $\sqrt{17 + \sqrt{\sqrt{x} - 6}} = 5$
Чтобы решить данное иррациональное уравнение, будем последовательно возводить обе его части в квадрат.
Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от внешнего корня:
$(\sqrt{17 + \sqrt{\sqrt{x} - 6}})^2 = 5^2$
$17 + \sqrt{\sqrt{x} - 6} = 25$
Теперь изолируем оставшийся радикал, перенеся 17 в правую часть:
$\sqrt{\sqrt{x} - 6} = 25 - 17$
$\sqrt{\sqrt{x} - 6} = 8$
Снова возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{\sqrt{x} - 6})^2 = 8^2$
$\sqrt{x} - 6 = 64$
Теперь выразим $\sqrt{x}$:
$\sqrt{x} = 64 + 6$
$\sqrt{x} = 70$
Для нахождения $x$ еще раз возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{x})^2 = 70^2$
$x = 4900$
Выполним проверку. Область допустимых значений (ОДЗ) определяется тем, что все подкоренные выражения должны быть неотрицательны: $x \ge 0$ и $\sqrt{x} - 6 \ge 0$. Из второго неравенства следует $\sqrt{x} \ge 6$, то есть $x \ge 36$.Найденный корень $x=4900$ удовлетворяет условию $x \ge 36$.Подставим значение в исходное уравнение:
$\sqrt{17 + \sqrt{\sqrt{4900} - 6}} = \sqrt{17 + \sqrt{70 - 6}} = \sqrt{17 + \sqrt{64}} = \sqrt{17 + 8} = \sqrt{25} = 5$.
$5 = 5$. Равенство верное, значит, корень найден правильно.
Ответ: $4900$.

2) $\sqrt{1 + \sqrt{2 + \sqrt{x}}} = 1$
Для решения этого уравнения также будем последовательно возводить обе части в квадрат.
Возводим обе части в квадрат:
$(\sqrt{1 + \sqrt{2 + \sqrt{x}}})^2 = 1^2$
$1 + \sqrt{2 + \sqrt{x}} = 1$
Вычтем 1 из обеих частей уравнения:
$\sqrt{2 + \sqrt{x}} = 1 - 1$
$\sqrt{2 + \sqrt{x}} = 0$
Снова возводим обе части в квадрат:
$(\sqrt{2 + \sqrt{x}})^2 = 0^2$
$2 + \sqrt{x} = 0$
Теперь выразим $\sqrt{x}$:
$\sqrt{x} = -2$
Полученное уравнение не имеет решений в действительных числах, так как по определению арифметический квадратный корень не может быть отрицательным числом (т.е. $\sqrt{x} \ge 0$ для любого $x$ из области определения).
Ответ: нет корней.

407. При каких значениях a и b имеет смысл выражение:

1) $\sqrt{ab}$;

2) $\sqrt{-ab}$;

3) $\sqrt{ab^2}$;

4) $\sqrt{a^2b^2}$;

5) $\sqrt{-a^2b?}$

Основное правило: арифметический квадратный корень $\sqrt{X}$ определен (имеет смысл) только тогда, когда подкоренное выражение $X$ является неотрицательным, то есть $X \ge 0$. Мы применим это правило к каждому из данных выражений.

1) Выражение $\sqrt{ab}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно, то есть $ab \ge 0$. Произведение двух сомножителей неотрицательно, если оба сомножителя имеют одинаковый знак или хотя бы один из них равен нулю.
Это приводит к двум возможным случаям:
а) Оба множителя неотрицательны: $a \ge 0$ и $b \ge 0$.
б) Оба множителя неположительны: $a \le 0$ и $b \le 0$.
Ответ: $a \ge 0$ и $b \ge 0$, или $a \le 0$ и $b \le 0$.

2) Выражение $\sqrt{-ab}$ имеет смысл, когда $-ab \ge 0$. Умножив обе части неравенства на -1, мы должны изменить знак неравенства на противоположный: $ab \le 0$. Произведение двух сомножителей неположительно, если сомножители имеют разные знаки или хотя бы один из них равен нулю.
Это приводит к двум возможным случаям:
а) Первый множитель неотрицателен, а второй неположителен: $a \ge 0$ и $b \le 0$.
б) Первый множитель неположителен, а второй неотрицателен: $a \le 0$ и $b \ge 0$.
Ответ: $a \ge 0$ и $b \le 0$, или $a \le 0$ и $b \ge 0$.

3) Выражение $\sqrt{ab^2}$ имеет смысл, когда $ab^2 \ge 0$.
Множитель $b^2$ всегда неотрицателен ($b^2 \ge 0$) для любого действительного числа $b$.
- Если $b \ne 0$, то $b^2 > 0$. В этом случае, чтобы произведение $ab^2$ было неотрицательным, необходимо, чтобы $a \ge 0$.
- Если $b = 0$, то выражение $ab^2$ равно $a \cdot 0^2 = 0$. Неравенство $0 \ge 0$ верно при любом значении $a$.
Объединяя эти условия, мы получаем, что выражение имеет смысл, если $a \ge 0$ (при любом $b$) или если $b = 0$ (при любом $a$).
Ответ: $a \ge 0$ или $b = 0$.

4) Выражение $\sqrt{a^2b^2}$ имеет смысл, когда $a^2b^2 \ge 0$.
Это выражение можно записать как $\sqrt{(ab)^2}$.
Поскольку квадрат любого действительного числа ($a^2$, $b^2$ или $(ab)^2$) всегда является неотрицательным числом, неравенство $a^2b^2 \ge 0$ выполняется для любых действительных значений переменных $a$ и $b$.
Ответ: $a$ и $b$ — любые действительные числа.

5) Выражение $\sqrt{-a^2b}$ имеет смысл, когда $-a^2b \ge 0$. Умножив обе части на -1, получим неравенство $a^2b \le 0$.
Множитель $a^2$ всегда неотрицателен ($a^2 \ge 0$) для любого действительного числа $a$.
- Если $a \ne 0$, то $a^2 > 0$. Чтобы произведение $a^2b$ было неположительным, необходимо, чтобы $b \le 0$.
- Если $a = 0$, то выражение $a^2b$ равно $0^2 \cdot b = 0$. Неравенство $0 \le 0$ верно при любом значении $b$.
Объединяя эти условия, мы получаем, что выражение имеет смысл, если $b \le 0$ (при любом $a$) или если $a = 0$ (при любом $b$).
Ответ: $b \le 0$ или $a = 0$.

408. Можно ли утверждать, что при любом значении x имеет смысл выражение:

1) $ \sqrt{x^2 - 4x + 4} $;

2) $ \sqrt{x^2 - 4x + 5} $?

Для того чтобы утверждать, что выражение имеет смысл при любом значении $x$, необходимо проверить, является ли подкоренное выражение неотрицательным (то есть большим или равным нулю) для любого действительного значения $x$.

Рассмотрим подкоренное выражение $x^2 - 4x + 4$. Необходимо проверить, выполняется ли неравенство $x^2 - 4x + 4 \ge 0$ при любом $x$.

Данный трехчлен является полным квадратом разности, так как он соответствует формуле $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$.

В нашем случае $a=x$ и $b=2$, поэтому:

$x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2$

Таким образом, выражение можно записать как $\sqrt{(x-2)^2}$. Условие существования корня принимает вид:

$(x-2)^2 \ge 0$

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Следовательно, это неравенство верно для любого значения $x$.

Ответ: да, можно утверждать, что данное выражение имеет смысл при любом значении $x$.

Рассмотрим подкоренное выражение $x^2 - 4x + 5$. Необходимо проверить, выполняется ли неравенство $x^2 - 4x + 5 \ge 0$ при любом $x$.

Способ 1: Выделение полного квадрата.

Преобразуем выражение, выделив в нем полный квадрат:

$x^2 - 4x + 5 = (x^2 - 4x + 4) + 1 = (x-2)^2 + 1$

Теперь неравенство имеет вид:

$(x-2)^2 + 1 \ge 0$

Так как $(x-2)^2$ всегда больше или равно нулю, то наименьшее значение этого слагаемого равно 0 (при $x=2$). Тогда наименьшее значение всего выражения $(x-2)^2 + 1$ равно $0 + 1 = 1$.

Поскольку $1 \ge 0$, подкоренное выражение всегда положительно, а значит, неравенство выполняется для любого значения $x$.

Способ 2: Анализ через дискриминант.

Рассмотрим квадратичную функцию $y = x^2 - 4x + 5$. Ее график — парабола. Знак этой функции зависит от знака старшего коэффициента и дискриминанта.

Старший коэффициент $a = 1$, что больше нуля ($a > 0$), значит, ветви параболы направлены вверх.

Найдем дискриминант $D$ квадратного уравнения $x^2 - 4x + 5 = 0$:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4$

Так как дискриминант отрицателен ($D < 0$), у уравнения нет действительных корней. Это означает, что парабола не пересекает ось абсцисс (ось Ox).

Поскольку ветви параболы направлены вверх и она не пересекает ось Ox, вся парабола находится выше этой оси. Следовательно, значение трехчлена $x^2 - 4x + 5$ всегда положительно при любом значении $x$.

Ответ: да, можно утверждать, что данное выражение имеет смысл при любом значении $x$.

409. Докажите, что не существует такого значения $x$, при котором имеет смысл выражение $\sqrt{-x^2 + 6x - 12}$.

Для того чтобы выражение $\sqrt{-x^2 + 6x - 12}$ имело смысл в области действительных чисел, необходимо и достаточно, чтобы его подкоренное выражение было неотрицательным. То есть, должно выполняться неравенство:

$-x^2 + 6x - 12 \ge 0$

Чтобы доказать, что не существует такого значения $x$, при котором это неравенство верно, мы исследуем знак квадратичного трехчлена $-x^2 + 6x - 12$.

Рассмотрим квадратичную функцию $y(x) = -x^2 + 6x - 12$. Графиком этой функции является парабола. Старший коэффициент $a = -1$ отрицателен, следовательно, ветви параболы направлены вниз.

Теперь определим, пересекает ли эта парабола ось абсцисс ($Ox$), то есть имеет ли уравнение $-x^2 + 6x - 12 = 0$ действительные корни. Для этого вычислим дискриминант $D$.

$D = b^2 - 4ac$

Для нашего уравнения $a = -1$, $b = 6$, $c = -12$:

$D = 6^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-12) = 36 - 48 = -12$

Поскольку дискриминант $D = -12 < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что график функции $y = -x^2 + 6x - 12$ не имеет точек пересечения с осью $Ox$.

Так как ветви параболы направлены вниз и она не пересекает ось $Ox$, вся парабола целиком расположена ниже оси $Ox$. Это означает, что для любого действительного значения $x$ значение функции $y = -x^2 + 6x - 12$ всегда отрицательно.

Следовательно, неравенство $-x^2 + 6x - 12 \ge 0$ не имеет решений. Так как подкоренное выражение всегда отрицательно, извлечь из него квадратный корень в области действительных чисел невозможно.

Ответ: Утверждение доказано. Не существует такого значения $x$, при котором выражение $\sqrt{-x^2 + 6x - 12}$ имеет смысл, так как подкоренное выражение $-x^2 + 6x - 12$ всегда отрицательно.

410. Какое из данных выражений имеет смысл при любом значении x.

1) $\sqrt{x^2 + 8x + 15}$;

2) $\sqrt{x^2 - 10x + 27}$?

Чтобы выражение, содержащее квадратный корень, имело смысл, подкоренное выражение должно быть неотрицательным (больше или равно нулю). Нам нужно определить, для какого из двух данных выражений это условие выполняется при любом значении переменной $x$.

Рассмотрим подкоренное выражение — квадратный трехчлен $x^2 + 8x + 15$. Чтобы исходное выражение имело смысл при любом $x$, должно выполняться неравенство $x^2 + 8x + 15 \ge 0$ для всех $x$.

Графиком функции $y = x^2 + 8x + 15$ является парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $x^2$ равен 1, что больше нуля). Неравенство будет выполняться для всех $x$ только в том случае, если парабола не пересекает ось Ох или касается ее в одной точке, то есть если дискриминант квадратного трехчлена $D \le 0$.

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 64 - 60 = 4$

Поскольку $D = 4 > 0$, квадратный трехчлен имеет два различных корня. Это означает, что парабола пересекает ось Ох, и существуют значения $x$, при которых $x^2 + 8x + 15 < 0$. Найдем эти интервалы. Корни уравнения $x^2 + 8x + 15 = 0$ равны $x_1 = -5$ и $x_2 = -3$. Значит, трехчлен отрицателен на интервале $(-5; -3)$.

Таким образом, выражение $\sqrt{x^2 + 8x + 15}$ имеет смысл не при любом значении $x$.

Рассмотрим подкоренное выражение $x^2 - 10x + 27$. Проверим, выполняется ли неравенство $x^2 - 10x + 27 \ge 0$ для всех $x$.

Графиком функции $y = x^2 - 10x + 27$ является парабола с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $x^2$ равен 1, что больше нуля).

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 27 = 100 - 108 = -8$

Поскольку $D = -8 < 0$, квадратный трехчлен не имеет действительных корней. Так как ветви параболы направлены вверх, это означает, что график функции полностью расположен выше оси Ох, и, следовательно, выражение $x^2 - 10x + 27$ всегда принимает положительные значения.

Это также можно показать, выделив полный квадрат:

$x^2 - 10x + 27 = (x^2 - 10x + 25) + 2 = (x - 5)^2 + 2$

Так как $(x - 5)^2 \ge 0$ для любого $x$, то $(x - 5)^2 + 2 \ge 2$. Значит, подкоренное выражение всегда больше нуля.

Таким образом, выражение $\sqrt{x^2 - 10x + 27}$ имеет смысл при любом значении $x$.

Ответ: Выражение $\sqrt{x^2 - 10x + 27}$ имеет смысл при любом значении $x$.

411. Решите уравнение:

1) $\sqrt{x} = -x;$

2) $\sqrt{x} + \sqrt{x-1} = 0;$

3) $\sqrt{x^2 - x} + \sqrt{x-1} = 0;$

4) $\sqrt{x^2 + 2x} + \sqrt{x^2 - 4} = 0;$

5) $(x-1)\sqrt{x+1} = 0;$

6) $(x+1)\sqrt{x-1} = 0.$

1) $\sqrt{x} = -x$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.

Левая часть уравнения, $\sqrt{x}$, по определению арифметического квадратного корня, всегда неотрицательна, то есть $\sqrt{x} \ge 0$. Правая часть уравнения, $-x$, при условии ОДЗ ($x \ge 0$) будет неположительной, то есть $-x \le 0$.

Равенство неотрицательного и неположительного выражений возможно только в том случае, если оба они равны нулю. $\sqrt{x} = 0 \implies x = 0$. Проверим: $\sqrt{0} = -0 \implies 0 = 0$. Это верное равенство.

Можно решить и другим способом, возведя обе части в квадрат. $(\sqrt{x})^2 = (-x)^2$ $x = x^2$ $x^2 - x = 0$ $x(x-1) = 0$ Получаем два потенциальных корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$.

Проверим их, подставив в исходное уравнение:

• При $x = 0$: $\sqrt{0} = -0 \implies 0 = 0$. Верно.
• При $x = 1$: $\sqrt{1} = -1 \implies 1 = -1$. Неверно. Корень $x=1$ является посторонним.

Следовательно, у уравнения только один корень.

Ответ: $x=0$.

2) $\sqrt{x} + \sqrt{x-1} = 0$

ОДЗ: $\begin{cases} x \ge 0 \\ x-1 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 0 \\ x \ge 1 \end{cases} \implies x \ge 1$.

В левой части уравнения стоит сумма двух неотрицательных слагаемых $\sqrt{x}$ и $\sqrt{x-1}$. Сумма неотрицательных слагаемых равна нулю тогда и только тогда, когда каждое слагаемое равно нулю. $\begin{cases} \sqrt{x} = 0 \\ \sqrt{x-1} = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x = 0 \\ x = 1 \end{cases}$.

Эта система не имеет решений, так как $x$ не может одновременно быть равен 0 и 1. Кроме того, корень $x=0$ не входит в ОДЗ ($x \ge 1$).

Ответ: нет решений.

3) $\sqrt{x^2-x} + \sqrt{x-1} = 0$

ОДЗ: $\begin{cases} x^2-x \ge 0 \\ x-1 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x(x-1) \ge 0 \\ x \ge 1 \end{cases}$. Решением первого неравенства является $x \in (-\infty, 0] \cup [1, \infty)$. Пересекая это с условием $x \ge 1$, получаем ОДЗ: $x \ge 1$.

Сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю, если каждое из них равно нулю. $\begin{cases} \sqrt{x^2-x} = 0 \\ \sqrt{x-1} = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x^2-x = 0 \\ x-1 = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x(x-1) = 0 \\ x = 1 \end{cases}$.

Из второго уравнения системы получаем $x=1$. Подставим это значение в первое уравнение: $1(1-1) = 0$. Верно. Значение $x=1$ удовлетворяет обоим уравнениям системы и входит в ОДЗ.

Ответ: $x=1$.

4) $\sqrt{x^2+2x} + \sqrt{x^2-4} = 0$

ОДЗ: $\begin{cases} x^2+2x \ge 0 \\ x^2-4 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x(x+2) \ge 0 \\ (x-2)(x+2) \ge 0 \end{cases}$. Решением первого неравенства является $x \in (-\infty, -2] \cup [0, \infty)$. Решением второго неравенства является $x \in (-\infty, -2] \cup [2, \infty)$. Пересечение этих множеств дает ОДЗ: $x \in (-\infty, -2] \cup [2, \infty)$.

Сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю, если каждое из них равно нулю. $\begin{cases} \sqrt{x^2+2x} = 0 \\ \sqrt{x^2-4} = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x^2+2x = 0 \\ x^2-4 = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x(x+2) = 0 \\ (x-2)(x+2) = 0 \end{cases}$.

Корни первого уравнения: $x=0$ и $x=-2$. Корни второго уравнения: $x=2$ и $x=-2$. Общим корнем для обоих уравнений является $x=-2$. Этот корень входит в ОДЗ.

Ответ: $x=-2$.

5) $(x-1)\sqrt{x+1} = 0$

ОДЗ: $x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$.

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. 1) $x-1 = 0 \implies x = 1$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($1 \ge -1$). 2) $\sqrt{x+1} = 0 \implies x+1=0 \implies x = -1$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($-1 \ge -1$).

Уравнение имеет два корня.

Ответ: $x_1=-1, x_2=1$.

6) $(x+1)\sqrt{x-1} = 0$

ОДЗ: $x-1 \ge 0 \implies x \ge 1$.

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. 1) $x+1 = 0 \implies x = -1$. Этот корень не удовлетворяет ОДЗ ($-1 < 1$), поэтому является посторонним. 2) $\sqrt{x-1} = 0 \implies x-1=0 \implies x = 1$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($1 \ge 1$).

Уравнение имеет только один корень.

Ответ: $x=1$.

412. Решите уравнение:

1) $\sqrt{x} + \sqrt{-x} = 0;$

2) $\sqrt{x} + \sqrt{-x} = 1;$

3) $\sqrt{x^2 - 2x + 1} + \sqrt{x^2 - 1} = 0;$

4) $(x - 2)\sqrt{x - 3} = 0.$

1) $\sqrt{x} + \sqrt{-x} = 0$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком квадратного корня должны быть неотрицательными. Это приводит к системе неравенств:

$\begin{cases} x \ge 0 \\ -x \ge 0 \end{cases}$

Из второго неравенства следует, что $x \le 0$. Единственное значение $x$, которое одновременно удовлетворяет условиям $x \ge 0$ и $x \le 0$, это $x=0$. Таким образом, ОДЗ состоит из одной точки.

Подставим $x=0$ в исходное уравнение, чтобы проверить, является ли оно решением:

$\sqrt{0} + \sqrt{-0} = 0 + 0 = 0$

$0 = 0$

Равенство верное, следовательно, $x=0$ — единственное решение уравнения.

Ответ: $0$.

2) $\sqrt{x} + \sqrt{-x} = 1$

Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения такая же, как и в предыдущем пункте, и состоит из единственного значения $x=0$.

Подставим это значение в уравнение:

$\sqrt{0} + \sqrt{-0} = 0 + 0 = 0$

В результате подстановки мы получаем равенство $0 = 1$, которое является ложным. Поскольку других допустимых значений для $x$ не существует, уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений.

3) $\sqrt{x^2 - 2x + 1} + \sqrt{x^2 - 1} = 0$

Упростим выражение под первым корнем. Заметим, что $x^2 - 2x + 1$ является полным квадратом разности: $(x-1)^2$.

Уравнение принимает вид:

$\sqrt{(x-1)^2} + \sqrt{x^2 - 1} = 0$

По определению корня, $\sqrt{a^2} = |a|$, поэтому уравнение можно переписать как:

$|x-1| + \sqrt{x^2 - 1} = 0$

В левой части уравнения стоит сумма двух неотрицательных слагаемых: модуль $|x-1| \ge 0$ и квадратный корень $\sqrt{x^2 - 1} \ge 0$. Сумма двух неотрицательных выражений равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из них равно нулю. Получаем систему уравнений:

$\begin{cases} |x-1| = 0 \\ \sqrt{x^2 - 1} = 0 \end{cases}$

Из первого уравнения следует, что $x-1 = 0$, то есть $x=1$.

Из второго уравнения следует, что $x^2 - 1 = 0$, то есть $x^2 = 1$, откуда $x=1$ или $x=-1$.

Решением системы является значение, которое удовлетворяет обоим уравнениям. Этим значением является $x=1$. Необходимо также проверить, входит ли это значение в ОДЗ. ОДЗ определяется неравенством $x^2-1 \ge 0$, то есть $x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$. Значение $x=1$ принадлежит ОДЗ.

Ответ: $1$.

4) $(x-2)\sqrt{x-3} = 0$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$x - 3 \ge 0 \implies x \ge 3$

Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю. Рассмотрим два случая:

1. Первый множитель равен нулю: $x-2 = 0 \implies x=2$.

2. Второй множитель равен нулю: $\sqrt{x-3} = 0 \implies x-3 = 0 \implies x=3$.

Теперь проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ ($x \ge 3$).

Корень $x=2$ не входит в ОДЗ, так как $2 < 3$. Следовательно, это посторонний корень.

Корень $x=3$ входит в ОДЗ, так как $3 \ge 3$. Следовательно, это является решением.

Ответ: $3$.

413. При каком значении $a$ уравнение $x^2 = a + 1$:

1) имеет два корня;

2) имеет один корень;

3) не имеет корней?

Данное уравнение $x^2 = a + 1$ является простейшим квадратным уравнением. Количество его корней зависит от знака выражения в правой части, то есть от знака $a + 1$, поскольку левая часть $x^2$ всегда неотрицательна (то есть $x^2 \ge 0$) для любого действительного числа $x$. Мы рассмотрим три случая.

1) имеет два корня;
Уравнение имеет два различных действительных корня, если правая часть уравнения является строго положительным числом. Это связано с тем, что для любого положительного числа $k$ существуют два числа, квадрат которых равен $k$: $\sqrt{k}$ и $-\sqrt{k}$.
Следовательно, для того чтобы уравнение имело два корня, должно выполняться неравенство:
$a + 1 > 0$
Решая это неравенство относительно $a$, получаем:
$a > -1$
При выполнении этого условия корнями уравнения будут $x_1 = \sqrt{a+1}$ и $x_2 = -\sqrt{a+1}$.
Ответ: при $a > -1$.

2) имеет один корень;
Уравнение имеет ровно один корень, если его правая часть равна нулю. В этом случае уравнение принимает вид $x^2 = 0$, единственным решением которого является $x = 0$.
Следовательно, для того чтобы уравнение имело один корень, должно выполняться равенство:
$a + 1 = 0$
Решая это уравнение относительно $a$, получаем:
$a = -1$
Ответ: при $a = -1$.

3) не имеет корней?
Уравнение не имеет действительных корней, если его правая часть является отрицательным числом. Это связано с тем, что квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.
Следовательно, для того чтобы уравнение не имело корней, должно выполняться неравенство:
$a + 1 < 0$
Решая это неравенство относительно $a$, получаем:
$a < -1$
Ответ: при $a < -1$.

414. Постройте график функции:

1) $y = \sqrt{-x^2}$;

2) $y = \sqrt{-x^2 - 4x - 4} + 2$;

3) $y = (\sqrt{x})^2$.

1) $y = \sqrt{-x^2}$

Для построения графика функции найдем ее область определения. Выражение, находящееся под знаком квадратного корня, должно быть неотрицательным.

$-x^2 \ge 0$

Умножим обе части неравенства на -1, при этом знак неравенства изменится на противоположный:

$x^2 \le 0$

Поскольку квадрат любого действительного числа всегда больше или равен нулю ($x^2 \ge 0$), единственное значение $x$, удовлетворяющее неравенству $x^2 \le 0$, это $x=0$.

Таким образом, область определения функции состоит из одной-единственной точки $x=0$.

Найдем значение функции в этой точке:

$y = \sqrt{-0^2} = \sqrt{0} = 0$

Следовательно, график данной функции состоит из одной точки — начала координат.

Ответ: График функции — точка с координатами (0, 0).

2) $y = \sqrt{-x^2 - 4x - 4} + 2$

Найдем область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$-x^2 - 4x - 4 \ge 0$

Вынесем минус за скобку:

$-(x^2 + 4x + 4) \ge 0$

Выражение в скобках является полным квадратом суммы: $x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2$. Подставим его в неравенство:

$-(x+2)^2 \ge 0$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:

$(x+2)^2 \le 0$

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, поэтому $(x+2)^2 \ge 0$. Единственное решение, удовлетворяющее условию $(x+2)^2 \le 0$, это $(x+2)^2 = 0$.

Отсюда $x+2 = 0$, то есть $x = -2$.

Область определения функции состоит из одной точки $x=-2$. Найдем значение функции в этой точке:

$y = \sqrt{-(-2)^2 - 4(-2) - 4} + 2 = \sqrt{-4 + 8 - 4} + 2 = \sqrt{0} + 2 = 2$

Таким образом, график данной функции состоит из одной точки.

Ответ: График функции — точка с координатами (-2, 2).

3) $y = (\sqrt{x})^2$

Найдем область определения функции. Выражение под знаком корня должно быть неотрицательным:

$x \ge 0$

На всей области определения ($x \ge 0$) мы можем упростить данное выражение. Возведение квадратного корня в квадрат дает подкоренное выражение:

$y = (\sqrt{x})^2 = x$

Следовательно, нам нужно построить график функции $y = x$ при условии $x \ge 0$.

Графиком функции $y=x$ является прямая, проходящая через начало координат и являющаяся биссектрисой I и III координатных углов. Условие $x \ge 0$ означает, что мы рассматриваем только ту часть прямой, для которой абсциссы неотрицательны, то есть часть прямой, расположенную в I координатной четверти (включая начало координат).

Таким образом, график функции представляет собой луч, выходящий из точки (0, 0) и совпадающий с биссектрисой первого координатного угла.

Ответ: График функции — луч $y=x$ при $x \ge 0$.

415. Постройте график функции $y = \sqrt{2x - 1 - x^2 - 1}$.

Для построения графика функции $y = \sqrt{2x - 1 - x^2} - 1$ найдем ее область определения. Выражение, находящееся под знаком квадратного корня, должно быть неотрицательным, то есть:

$2x - 1 - x^2 \ge 0$

Умножим обе части неравенства на $-1$ и сменим знак неравенства на противоположный:

$x^2 - 2x + 1 \le 0$

Левая часть неравенства представляет собой полный квадрат разности:

$(x - 1)^2 \le 0$

Поскольку квадрат любого действительного числа всегда является неотрицательной величиной (то есть $(x - 1)^2 \ge 0$), данное неравенство может выполняться только в одном случае — когда левая часть равна нулю:

$(x - 1)^2 = 0$

Отсюда следует, что:

$x - 1 = 0$

$x = 1$

Таким образом, область определения функции состоит из единственной точки $x = 1$.

Теперь найдем значение функции в этой точке, подставив $x=1$ в исходное уравнение:

$y(1) = \sqrt{2 \cdot 1 - 1 - 1^2} - 1 = \sqrt{2 - 1 - 1} - 1 = \sqrt{0} - 1 = 0 - 1 = -1$

Следовательно, график данной функции состоит из одной-единственной точки на координатной плоскости.

Ответ: Графиком функции является точка с координатами $(1; -1)$.

416. Для каждого значения a решите уравнение:

1) $a\sqrt{x-1} = 0;$

2) $\sqrt{(a-1)x} = 0;$

3) $a\sqrt{x-1} = a;$

4) $\sqrt{x-2} = a.$

1) Решение уравнения $a\sqrt{x-1} = 0$.

Область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$ определяется тем, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x-1 \ge 0$, откуда $x \ge 1$.

Данное уравнение представляет собой произведение двух множителей, которое равно нулю. Это возможно, если хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая в зависимости от значения параметра $a$.

Случай 1: $a = 0$.

Уравнение принимает вид $0 \cdot \sqrt{x-1} = 0$, или $0 = 0$. Это равенство является верным для любого значения $x$ из области допустимых значений.

Следовательно, при $a=0$ решением является любое число $x$ из промежутка $[1, +\infty)$.

Случай 2: $a \neq 0$.

Если $a \neq 0$, то для равенства нулю произведения необходимо, чтобы второй множитель был равен нулю: $\sqrt{x-1} = 0$.

Возводим обе части уравнения в квадрат: $x-1 = 0$.

Отсюда находим $x = 1$. Это значение удовлетворяет ОДЗ ($1 \ge 1$).

Таким образом, при $a \neq 0$ уравнение имеет единственный корень $x=1$.

Ответ: если $a=0$, то $x \in [1, +\infty)$; если $a \neq 0$, то $x=1$.

2) Решение уравнения $\sqrt{(a-1)x} = 0$.

ОДЗ: $(a-1)x \ge 0$.

Чтобы избавиться от корня, возведем обе части уравнения в квадрат:

$(a-1)x = 0$.

Это линейное уравнение относительно $x$. Его решение зависит от значения коэффициента при $x$, то есть от выражения $(a-1)$.

Случай 1: $a-1 = 0$, то есть $a=1$.

Уравнение принимает вид $0 \cdot x = 0$. Это равенство верно для любого действительного числа $x$.

При этом ОДЗ $(1-1)x \ge 0$ превращается в $0 \ge 0$, что также верно для любого $x$.

Следовательно, при $a=1$ решением является любое действительное число, $x \in (-\infty, +\infty)$.

Случай 2: $a-1 \neq 0$, то есть $a \neq 1$.

В этом случае уравнение $(a-1)x = 0$ имеет единственный корень $x = \frac{0}{a-1} = 0$.

Проверим, удовлетворяет ли этот корень ОДЗ: $(a-1) \cdot 0 \ge 0$, то есть $0 \ge 0$. Условие выполняется для любого $a \neq 1$.

Следовательно, при $a \neq 1$ уравнение имеет единственный корень $x=0$.

Ответ: если $a=1$, то $x \in (-\infty, +\infty)$; если $a \neq 1$, то $x=0$.

3) Решение уравнения $a\sqrt{x-1} = a$.

ОДЗ: $x-1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1$.

Рассмотрим два случая для параметра $a$.

Случай 1: $a=0$.

Уравнение принимает вид $0 \cdot \sqrt{x-1} = 0$, или $0=0$.

Это равенство верно для всех $x$ из ОДЗ.

Следовательно, при $a=0$ решением является любое число $x$ из промежутка $[1, +\infty)$.

Случай 2: $a \neq 0$.

При $a \neq 0$ можно разделить обе части уравнения на $a$:

$\sqrt{x-1} = 1$.

Возводим обе части в квадрат (это возможно, так как обе части неотрицательны):

$x-1 = 1^2$

$x-1 = 1$

$x = 2$.

Проверяем корень по ОДЗ: $2 \ge 1$. Условие выполнено.

Следовательно, при $a \neq 0$ уравнение имеет единственный корень $x=2$.

Ответ: если $a=0$, то $x \in [1, +\infty)$; если $a \neq 0$, то $x=2$.

4) Решение уравнения $\sqrt{x-2} = a$.

ОДЗ: $x-2 \ge 0 \Rightarrow x \ge 2$.

По определению, арифметический квадратный корень $\sqrt{x-2}$ не может быть отрицательным. Значит, для существования решений необходимо, чтобы правая часть уравнения также была неотрицательной.

Случай 1: $a < 0$.

В этом случае левая часть уравнения неотрицательна, а правая — отрицательна. Равенство невозможно, следовательно, уравнение не имеет решений.

Случай 2: $a \ge 0$.

При этом условии обе части уравнения неотрицательны, и мы можем возвести их в квадрат:

$(\sqrt{x-2})^2 = a^2$

$x-2 = a^2$

$x = a^2 + 2$.

Проверим, удовлетворяет ли найденное решение ОДЗ ($x \ge 2$):

$a^2 + 2 \ge 2$.

$a^2 \ge 0$.

Это неравенство верно для любого действительного числа $a$, значит, оно верно и для нашего случая $a \ge 0$.

Следовательно, при $a \ge 0$ уравнение имеет единственный корень $x = a^2 + 2$.

Ответ: если $a < 0$, то корней нет; если $a \ge 0$, то $x = a^2 + 2$.

417. При каких значениях $a$ уравнение $(\sqrt{x}-1)(x-a) = 0$ имеет только один корень?

Данное уравнение $(\sqrt{x}-1)(x-a) = 0$ представляет собой произведение двух множителей, равное нулю. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, при условии, что все выражения определены.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Так как в уравнении есть выражение $\sqrt{x}$, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x \ge 0$. Все корни уравнения должны удовлетворять этому условию.

Теперь рассмотрим два случая, когда произведение равно нулю:

1. Первый множитель равен нулю: $\sqrt{x} - 1 = 0$ $\sqrt{x} = 1$ Возводим обе части в квадрат и получаем корень: $x_1 = 1$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($1 \ge 0$), следовательно, $x = 1$ является корнем исходного уравнения при любом значении параметра $a$.

2. Второй множитель равен нулю: $x - a = 0$ $x_2 = a$. Этот корень $x_2$ должен удовлетворять ОДЗ, то есть $x_2 \ge 0$. Это означает, что $x=a$ является корнем уравнения только при условии $a \ge 0$.

Уравнение должно иметь только один корень. Поскольку корень $x_1=1$ существует всегда, нам нужно рассмотреть два сценария, при которых не появится второй, отличный от него, корень.

Случай 1: Второй корень $x_2=a$ не удовлетворяет ОДЗ. Это происходит, когда $a < 0$. В этом случае $x=a$ не является решением, так как не входит в ОДЗ. Единственным решением остается $x_1 = 1$. Таким образом, при $a < 0$ уравнение имеет ровно один корень.

Случай 2: Второй корень $x_2=a$ существует, но совпадает с первым корнем $x_1=1$. Для существования корня $x_2=a$ необходимо, чтобы $a \ge 0$. Чтобы корень был единственным, он должен совпадать с уже найденным корнем $x_1=1$: $x_2 = x_1$ $a = 1$. Значение $a=1$ удовлетворяет условию $a \ge 0$. При $a=1$ уравнение принимает вид $(\sqrt{x}-1)(x-1)=0$, и оба множителя дают один и тот же корень $x=1$. Следовательно, при $a=1$ уравнение имеет ровно один корень.

Объединяя оба случая, мы получаем, что уравнение имеет только один корень, если $a < 0$ или если $a=1$.

Ответ: $a \in (-\infty; 0) \cup \{1\}$.