Страница 99 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Что называют квадратным корнем из числа $a$?

1. Что называют квадратным корнем из числа a?

Квадратным корнем из числа $a$ называют такое число $x$, квадрат которого (то есть результат умножения числа на само себя) равен $a$. Математически это записывается как: $x^2 = a$.

Например, квадратными корнями из числа 49 являются числа 7 и -7, потому что:
$7^2 = 7 \cdot 7 = 49$
$(-7)^2 = (-7) \cdot (-7) = 49$

Важно отличать понятие «квадратный корень» от понятия «арифметический квадратный корень».

Арифметический квадратный корень из неотрицательного числа $a$ (то есть при $a \ge 0$) — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен $a$. Его обозначают знаком радикала $\sqrt{a}$.

Таким образом, запись $\sqrt{a} = b$ равносильна выполнению двух условий:
1. $b \ge 0$ (корень является неотрицательным числом)
2. $b^2 = a$ (квадрат этого числа равен подкоренному выражению)

Например, $\sqrt{49} = 7$. Выражение $\sqrt{49}$ не может быть равно -7, так как по определению арифметический квадратный корень всегда является неотрицательным числом.

В области действительных чисел квадратный корень из отрицательного числа не существует, так как квадрат любого действительного числа (положительного или отрицательного) является неотрицательным.

Ответ: Квадратным корнем из числа $a$ называют число, квадрат которого равен $a$.

2. Что называют арифметическим квадратным корнем из числа $a$?

Арифметическим квадратным корнем из числа a называют неотрицательное число, квадрат которого равен a.

Арифметический квадратный корень обозначается символом радикала (или корня) $\sqrt{\phantom{a}}$. Число, из которого извлекается корень, называется подкоренным выражением. Например, в записи $\sqrt{a}$, a — это подкоренное выражение.

Таким образом, равенство $\sqrt{a} = b$ является верным тогда и только тогда, когда выполняются два условия:
1. $b \ge 0$ (значение корня является неотрицательным числом).
2. $b^2 = a$ (квадрат этого значения равен подкоренному выражению).

Из этих условий вытекает, что подкоренное выражение a также должно быть неотрицательным ($a \ge 0$), поскольку квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.

Примеры:
- $\sqrt{49} = 7$, так как $7 \ge 0$ и $7^2 = 49$.
- $\sqrt{0.64} = 0.8$, так как $0.8 \ge 0$ и $0.8^2 = 0.64$.
- $\sqrt{0} = 0$, так как $0 \ge 0$ и $0^2 = 0$.

Важно отличать понятие «арифметический квадратный корень» от общего понятия «квадратный корень». У положительного числа существует два квадратных корня, которые являются противоположными числами. Например, квадратными корнями из числа 25 являются 5 и -5, так как $5^2 = 25$ и $(-5)^2 = 25$. Однако арифметическим квадратным корнем из 25 является только неотрицательное значение, то есть 5. Поэтому запись $\sqrt{25}$ всегда означает 5, а не -5.

Выражение $\sqrt{-9}$ не имеет смысла (не определено) в множестве действительных чисел, так как не существует такого действительного числа, квадрат которого равен -9.

Ответ: Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа a называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен a.

3. Как обозначают арифметический квадратный корень из числа $a$?

Арифметический квадратный корень из числа $a$ обозначают с помощью специального символа $\sqrt{\quad}$, который называется знаком арифметического квадратного корня или знаком радикала. Число (или выражение) под знаком радикала называется подкоренным выражением.

Таким образом, обозначение арифметического квадратного корня из числа $a$ выглядит как $\sqrt{a}$.

Это обозначение подразумевает нахождение такого неотрицательного числа, квадрат которого равен $a$. Формально, запись $x = \sqrt{a}$ эквивалентна выполнению двух условий:

1. $x \ge 0$
2. $x^2 = a$

Из определения следует, что само подкоренное выражение $a$ также должно быть неотрицательным, то есть $a \ge 0$.

Например, $\sqrt{36} = 6$, так как $6 \ge 0$ и $6^2 = 36$.

Ответ: $\sqrt{a}$

4. Как называют знак $\sqrt{}$?

Знак $ \sqrt{} $ в математике имеет несколько названий. Его основное и наиболее общее научное название — радикал (от латинского слова radix, что означает «корень»).

В школьной программе и в обиходе его чаще всего называют знаком корня или, более конкретно, знаком квадратного корня, так как по умолчанию он обозначает именно операцию извлечения квадратного корня.

Операция, которую обозначает этот знак, называется извлечением корня. Выражение, стоящее под знаком радикала, называется подкоренным выражением. Например, в выражении $ \sqrt{25} $, число 25 является подкоренным выражением.

Для обозначения корня степени, отличной от 2 (например, кубического корня, корня четвертой степени и т.д.), используется тот же знак, но с указанием показателя корня — небольшой цифры слева вверху над знаком. Например, $ \sqrt[3]{8} $ — это кубический корень из 8. Если показатель корня не указан, как в знаке $ \sqrt{} $, то по умолчанию он равен 2, то есть это квадратный корень.

Таким образом, знак $ \sqrt{} $ обозначает математическую операцию, обратную возведению в степень.

Ответ: Знак $ \sqrt{} $ называют радикал или знак корня (в частности, знак квадратного корня).

5. Как читают запись $\sqrt{a}$?

Запись $ \sqrt{a} $ имеет несколько общепринятых вариантов прочтения в зависимости от степени формальности речи.

Основные способы прочтения

Наиболее распространенными являются следующие варианты:

• Квадратный корень из а. Это полное и математически точное название. Например, выражение $ \sqrt{16} $ читается как «квадратный корень из шестнадцати».
• Корень квадратный из а. Этот вариант является синонимичным предыдущему и также абсолютно корректен.
• Корень из а. Это сокращенный, разговорный вариант. Слово «квадратный» опускается, когда из контекста ясно, что речь идет о корне второй степени. В устной речи этот вариант используется чаще всего.

Терминология

В данной записи:

• Символ $ \sqrt{\,} $ — это знак радикала или знак корня.
• Переменная $ a $, находящаяся под знаком радикала, называется подкоренным выражением.

Математический смысл

Запись $ \sqrt{a} $ обозначает арифметический квадратный корень из числа $ a $. По определению, это неотрицательное число, квадрат которого равен $ a $. Это можно записать в виде системы условий: если $ \sqrt{a} = b $, то:

1. $ b \ge 0 $ (корень является неотрицательным числом)
2. $ b^2 = a $ (квадрат корня равен подкоренному выражению)

Из этого определения также следует, что само подкоренное выражение $ a $ не может быть отрицательным, то есть $ a \ge 0 $.

Ответ: Запись $ \sqrt{a} $ читают как «квадратный корень из а» или, в сокращенном виде, «корень из а».

6. Как называют выражение, стоящее под радикалом?

6. Выражение, которое находится под знаком радикала (математического знака корня $\sqrt{\ \ }$), называется подкоренным выражением.
В общем виде корень $n$-ой степени из $A$ записывается как $\sqrt[n]{A}$. В этой записи:
- $A$ — это подкоренное выражение (или радиранд).
- $n$ — это показатель корня.
- $\sqrt{\ \ }$ — это знак корня или радикал.

Например, в выражении $\sqrt{25}$ подкоренным выражением является число $25$. В выражении $\sqrt[3]{x^2+1}$ подкоренным выражением является $x^2+1$.

Ответ: подкоренное выражение.

7. Какие значения может принимать подкоренное выражение?

Подкоренное выражение — это то, что находится под знаком корня (радикала). Множество допустимых значений для подкоренного выражения зависит от показателя корня.

1. Корень четной степени (квадратный корень $ \sqrt{\phantom{a}} $, корень четвертой степени $ \sqrt[4]{\phantom{a}} $, шестой $ \sqrt[6]{\phantom{a}} $ и т.д.).

В области действительных чисел корень четной степени можно извлечь только из неотрицательного числа. Это связано с тем, что любое действительное число, возведенное в четную степень, всегда дает неотрицательный результат (например, $ 5^2=25 $ и $ (-5)^2=25 $). Следовательно, подкоренное выражение не может быть отрицательным.

Если подкоренное выражение обозначить как $A$, то для корня четной степени должно выполняться условие: $ A \ge 0 $ То есть, подкоренное выражение может быть нулем или любым положительным числом.

2. Корень нечетной степени (кубический корень $ \sqrt[3]{\phantom{a}} $, корень пятой степени $ \sqrt[5]{\phantom{a}} $ и т.д.).

Для корней нечетной степени ограничений нет. Подкоренное выражение может быть любым действительным числом: положительным, отрицательным или равным нулю. Это возможно потому, что нечетная степень отрицательного числа является отрицательной (например, $ (-3)^3 = -27 $, поэтому $ \sqrt[3]{-27} = -3 $).

В школьных заданиях, если показатель корня не указан, по умолчанию имеется в виду квадратный корень, то есть корень четной степени.

Ответ: Для корня четной степени (например, квадратного) подкоренное выражение должно быть неотрицательным (больше или равно нулю). Для корня нечетной степени подкоренное выражение может принимать любые действительные значения (быть положительным, отрицательным или нулем).

8. Как называют действие нахождения арифметического квадратного корня из числа?

Действие нахождения арифметического квадратного корня из числа называется извлечением квадратного корня.

Рассмотрим это понятие подробнее. Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа $a$ называют такое неотрицательное число, квадрат которого равен $a$. Математически это записывается так:

$\sqrt{a} = b$, где $a \ge 0$, $b \ge 0$ и $b^2 = a$.

Операция, в ходе которой по известному числу $a$ (подкоренному выражению) находят число $b$ (значение корня), и является извлечением корня. Это действие, обратное возведению в квадрат для неотрицательных чисел.

Например, требуется найти арифметический квадратный корень из числа 36. Это значит, что нужно выполнить операцию извлечения квадратного корня из 36.

$\sqrt{36} = 6$

Мы нашли число 6, так как оно неотрицательное ($6 \ge 0$) и его квадрат равен 36 ($6^2 = 36$). Сам процесс нахождения этого числа 6 и есть извлечение квадратного корня.

Ответ: извлечение квадратного корня.

9. Чему равно значение выражения $(\sqrt{a})^2$ для любого неотрицательного числа $a$?

Чтобы найти значение выражения $(\sqrt{a})^2$ для любого неотрицательного числа $a$, необходимо обратиться к определению арифметического квадратного корня.

Определение: Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа $a$ (то есть при $a \ge 0$) называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен $a$. Обозначается это как $\sqrt{a}$.

Из этого определения напрямую следует, что операция возведения в квадрат является обратной по отношению к операции извлечения квадратного корня. Когда мы выполняем эти операции последовательно, мы получаем исходное число.

Таким образом, для любого неотрицательного числа $a$ справедливо следующее тождество: $$(\sqrt{a})^2 = a$$

Рассмотрим это на примерах:

• Если $a=16$, то $(\sqrt{16})^2 = (4)^2 = 16$.
• Если $a=5$, то $(\sqrt{5})^2 = 5$.
• Если $a=0$, то $(\sqrt{0})^2 = (0)^2 = 0$.

Следовательно, значение выражения $(\sqrt{a})^2$ для любого неотрицательного числа $a$ всегда равно самому числу $a$.

Ответ: $a$

10. Сколько корней имеет уравнение $x^2 = a$ при $a > 0$? Чему они равны?

Для ответа на данный вопрос рассмотрим уравнение $x^2 = a$ при условии, что $a > 0$, и проанализируем его решения.

Чтобы определить количество корней, можно применить графический метод. Решения уравнения $x^2 = a$ являются абсциссами точек пересечения графиков двух функций: $y = x^2$ и $y = a$.

График функции $y = x^2$ — это парабола, вершина которой находится в начале координат, а ветви направлены вверх.

График функции $y = a$ при условии $a > 0$ — это горизонтальная прямая, которая расположена выше оси абсцисс (оси Ox).

Горизонтальная прямая $y=a$, где $a>0$, пересекает параболу $y=x^2$ в двух точках, которые симметричны относительно оси ординат (оси Oy). Каждая точка пересечения соответствует одному корню уравнения. Следовательно, уравнение имеет два различных действительных корня.

Ответ: Уравнение имеет два корня.

Чтобы найти значения корней уравнения $x^2 = a$, необходимо найти числа, квадрат которых равен $a$. Эта операция является извлечением квадратного корня.

Для любого положительного числа $a$ существуют два квадратных корня: один положительный, а другой отрицательный.

1. Положительный корень называется арифметическим квадратным корнем и обозначается как $\sqrt{a}$. Проверим, является ли он решением: $(\sqrt{a})^2 = a$. Это верно, значит $x_1 = \sqrt{a}$ — первый корень.

2. Отрицательный корень — это число, противоположное арифметическому корню, то есть $-\sqrt{a}$. Проверим его: $(-\sqrt{a})^2 = (-1)^2 \cdot (\sqrt{a})^2 = 1 \cdot a = a$. Это также верно, значит $x_2 = -\sqrt{a}$ — второй корень.

Ответ: Корни равны $\sqrt{a}$ и $-\sqrt{a}$.

11. Имеет ли корни уравнение $x^2 = a$ при $a = 0$; при $a < 0$?

при a = 0:
Чтобы определить, имеет ли уравнение $x^2 = a$ корни при $a=0$, подставим это значение в уравнение:
$x^2 = 0$
Данное уравнение имеет один-единственный корень, так как единственное число, квадрат которого равен нулю, — это сам ноль.
$x=0$
Ответ: да, уравнение имеет один корень $x=0$.

при a < 0:
Рассмотрим уравнение $x^2 = a$ при условии, что $a$ является отрицательным числом ($a < 0$).
Левая часть уравнения, $x^2$, — это квадрат действительного числа. Квадрат любого действительного числа всегда является неотрицательным, то есть $x^2 \ge 0$.
Правая часть уравнения, $a$, по условию является отрицательной.
Таким образом, мы получаем противоречие: неотрицательное число ($x^2$) не может быть равно отрицательному числу ($a$). Это означает, что в множестве действительных чисел у уравнения нет решения.
Ответ: нет, уравнение не имеет корней.

377. Чему равен $\sqrt{16}$; $\sqrt{1}$; $\sqrt{0}$? Чему равен арифметический квадратный корень из этих чисел?

Сначала дадим определения.
Квадратным корнем из числа $a$ называется число $x$, квадрат которого равен $a$ (то есть, $x^2 = a$).
Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа $a$ (обозначается $\sqrt{a}$) называется неотрицательное число $x$, квадрат которого равен $a$.

Из числа 16
Квадратные корни из 16 — это решения уравнения $x^2 = 16$. Таких решений два: $x_1 = 4$ и $x_2 = -4$, так как $4^2 = 16$ и $(-4)^2 = 16$.
Арифметический квадратный корень из 16 — это неотрицательное из этих решений. Таким образом, $\sqrt{16} = 4$.

Ответ: квадратные корни из числа 16 равны $4$ и $-4$; арифметический квадратный корень из 16 равен $4$.

Из числа 1
Квадратные корни из 1 — это решения уравнения $x^2 = 1$. Таких решений два: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$, так как $1^2 = 1$ и $(-1)^2 = 1$.
Арифметический квадратный корень из 1 — это неотрицательное из этих решений. Таким образом, $\sqrt{1} = 1$.

Ответ: квадратные корни из числа 1 равны $1$ и $-1$; арифметический квадратный корень из 1 равен $1$.

Из числа 0
Квадратный корень из 0 — это решение уравнения $x^2 = 0$. Уравнение имеет единственное решение: $x = 0$.
Поскольку $0$ является неотрицательным числом, он же и является арифметическим квадратным корнем. Таким образом, $\sqrt{0} = 0$.

Ответ: квадратный корень из числа 0 равен $0$; арифметический квадратный корень из 0 равен $0$.

378. Верно ли равенство (ответ обоснуйте):

1) $\sqrt{25} = 5$;

2) $\sqrt{0} = 0$;

3) $\sqrt{36} = -6$;

4) $\sqrt{0,4} = 0,2$;

5) $\sqrt{0,81} = 0,9$;

6) $\sqrt{10} = 100?$

1) Равенство $\sqrt{25} = 5$ верно. По определению арифметического квадратного корня, $\sqrt{a} = b$ при условии, что $b \ge 0$ и $b^2 = a$. В данном случае оба условия выполняются: $5 \ge 0$ и $5^2 = 25$.
Ответ: верно.

2) Равенство $\sqrt{0} = 0$ верно. По определению арифметического квадратного корня, $0 \ge 0$ и $0^2 = 0$.
Ответ: верно.

3) Равенство $\sqrt{36} = -6$ неверно. По определению, арифметический квадратный корень из неотрицательного числа есть число неотрицательное. Так как $-6 < 0$, равенство не может быть верным. Правильно: $\sqrt{36} = 6$.
Ответ: неверно.

4) Равенство $\sqrt{0,4} = 0,2$ неверно. Для проверки возведем правую часть в квадрат: $0,2^2 = 0,04$. Поскольку $0,04 \neq 0,4$, равенство неверно.
Ответ: неверно.

5) Равенство $\sqrt{0,81} = 0,9$ верно. Проверим, возведя правую часть в квадрат: $0,9 \ge 0$ и $0,9^2 = 0,81$. Условия определения арифметического квадратного корня выполняются.
Ответ: верно.

6) Равенство $\sqrt{10} = 100$ неверно. Для проверки возведем правую часть в квадрат: $100^2 = 10000$. Поскольку $10000 \neq 10$, равенство неверно.
Ответ: неверно.

379. Найдите значение арифметического квадратного корня:

1) $\sqrt{9}$;

2) $\sqrt{49}$;

3) $\sqrt{100}$;

4) $\sqrt{225}$;

5) $\sqrt{0.25}$;

6) $\sqrt{0.01}$;

7) $\sqrt{1.21}$;

8) $\sqrt{1.96}$;

9) $\sqrt{400}$;

10) $\sqrt{3600}$;

11) $\sqrt{\frac{1}{64}}$;

12) $\sqrt{\frac{4}{9}}$;

13) $\sqrt{1\frac{9}{16}}$;

14) $\sqrt{3\frac{6}{25}}$;

15) $\sqrt{0.0004}$;

16) $\sqrt{0.000025}$.

1) Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа $a$ называется такое неотрицательное число $b$, квадрат которого равен $a$. Чтобы найти $\sqrt{9}$, нужно найти неотрицательное число, квадрат которого равен 9. Таким числом является 3, так как $3^2 = 9$. Следовательно, $\sqrt{9} = 3$.
Ответ: 3

2) Найдём неотрицательное число, квадрат которого равен 49. Таким числом является 7, так как $7^2 = 49$. Следовательно, $\sqrt{49} = 7$.
Ответ: 7

3) Найдём неотрицательное число, квадрат которого равен 100. Таким числом является 10, так как $10^2 = 100$. Следовательно, $\sqrt{100} = 10$.
Ответ: 10

4) Найдём неотрицательное число, квадрат которого равен 225. Таким числом является 15, так как $15^2 = 225$. Следовательно, $\sqrt{225} = 15$.
Ответ: 15

5) Чтобы найти $\sqrt{0,25}$, найдём неотрицательное число, квадрат которого равен 0,25. Так как $(0,5)^2 = 0,25$, то $\sqrt{0,25} = 0,5$. Другой способ - представить десятичную дробь в виде обыкновенной: $\sqrt{0,25} = \sqrt{\frac{25}{100}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{100}} = \frac{5}{10} = 0,5$.
Ответ: 0,5

6) Найдём неотрицательное число, квадрат которого равен 0,01. Так как $(0,1)^2 = 0,01$, то $\sqrt{0,01} = 0,1$. Или через дробь: $\sqrt{0,01} = \sqrt{\frac{1}{100}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{100}} = \frac{1}{10} = 0,1$.
Ответ: 0,1

7) Найдём неотрицательное число, квадрат которого равен 1,21. Так как $(1,1)^2 = 1,21$, то $\sqrt{1,21} = 1,1$. Или через дробь: $\sqrt{1,21} = \sqrt{\frac{121}{100}} = \frac{\sqrt{121}}{\sqrt{100}} = \frac{11}{10} = 1,1$.
Ответ: 1,1

8) Найдём неотрицательное число, квадрат которого равен 1,96. Так как $(1,4)^2 = 1,96$, то $\sqrt{1,96} = 1,4$. Или через дробь: $\sqrt{1,96} = \sqrt{\frac{196}{100}} = \frac{\sqrt{196}}{\sqrt{100}} = \frac{14}{10} = 1,4$.
Ответ: 1,4

9) Найдём неотрицательное число, квадрат которого равен 400. Так как $20^2 = 400$, то $\sqrt{400} = 20$. Можно также использовать свойство корня: $\sqrt{400} = \sqrt{4 \cdot 100} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{100} = 2 \cdot 10 = 20$.
Ответ: 20

10) Найдём неотрицательное число, квадрат которого равен 3600. Так как $60^2 = 3600$, то $\sqrt{3600} = 60$. Используя свойство корня: $\sqrt{3600} = \sqrt{36 \cdot 100} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{100} = 6 \cdot 10 = 60$.
Ответ: 60

11) Для нахождения корня из дроби воспользуемся свойством $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$. Таким образом, $\sqrt{\frac{1}{64}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{64}} = \frac{1}{8}$.
Ответ: $\frac{1}{8}$

12) Используем свойство корня из дроби $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$. Таким образом, $\sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}} = \frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{2}{3}$

13) Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $1\frac{9}{16} = \frac{1 \cdot 16 + 9}{16} = \frac{25}{16}$. Теперь извлечём корень, используя свойство корня из дроби: $\sqrt{1\frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{16}} = \frac{5}{4}$. Преобразуем неправильную дробь обратно в смешанное число: $\frac{5}{4} = 1\frac{1}{4}$.
Ответ: $1\frac{1}{4}$

14) Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $3\frac{6}{25} = \frac{3 \cdot 25 + 6}{25} = \frac{75+6}{25} = \frac{81}{25}$. Теперь извлечём корень: $\sqrt{3\frac{6}{25}} = \sqrt{\frac{81}{25}} = \frac{\sqrt{81}}{\sqrt{25}} = \frac{9}{5}$. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $\frac{9}{5} = 1\frac{4}{5}$.
Ответ: $1\frac{4}{5}$

15) Представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $0,0004 = \frac{4}{10000}$. Теперь извлечём корень: $\sqrt{0,0004} = \sqrt{\frac{4}{10000}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{10000}} = \frac{2}{100} = 0,02$. Можно также заметить, что $(0,02)^2 = 0,0004$.
Ответ: 0,02

16) Представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $0,000025 = \frac{25}{1000000}$. Теперь извлечём корень: $\sqrt{0,000025} = \sqrt{\frac{25}{1000000}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{1000000}} = \frac{5}{1000} = 0,005$. Можно также заметить, что $(0,005)^2 = 0,000025$.
Ответ: 0,005