Страница 93 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

361. Постройте график функции:

1) $y = \frac{x^3 + x^2}{x + 1};$

2) $y = \frac{x^4 - 4x^2}{x^2 - 4}.$

1) Для построения графика функции $y = \frac{x^3 + x^2}{x + 1}$ сначала найдем ее область определения. Знаменатель дроби не должен равняться нулю, следовательно, $x + 1 \neq 0$, что означает $x \neq -1$.

Далее, упростим выражение функции. В числителе вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:

$y = \frac{x^2(x + 1)}{x + 1}$

При условии, что $x \neq -1$, мы можем сократить дробь на $(x + 1)$. В результате получаем упрощенную функцию:

$y = x^2$

Таким образом, график исходной функции представляет собой параболу $y = x^2$, но с одной "выколотой" точкой, так как в точке $x = -1$ исходная функция не определена. Чтобы найти координаты этой точки, подставим значение $x = -1$ в упрощенную функцию: $y = (-1)^2 = 1$.

Следовательно, нужно построить график параболы $y = x^2$ и отметить на нем выколотую точку с координатами $(-1; 1)$.

Ответ: График функции — парабола $y=x^2$ с выколотой точкой $(-1; 1)$.

2) Для построения графика функции $y = \frac{x^4 - 4x^2}{x^2 - 4}$ найдем ее область определения. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x^2 - 4 \neq 0$. Разложив на множители, получаем $(x-2)(x+2) \neq 0$, откуда следует, что $x \neq 2$ и $x \neq -2$.

Теперь упростим выражение для функции. Вынесем в числителе общий множитель $x^2$ за скобки:

$y = \frac{x^2(x^2 - 4)}{x^2 - 4}$

Так как $x \neq 2$ и $x \neq -2$, мы можем сократить дробь на выражение $(x^2 - 4)$. В результате получаем:

$y = x^2$

Графиком данной функции является парабола $y = x^2$, но с двумя выколотыми точками, соответствующими значениям $x = 2$ и $x = -2$, в которых исходная функция не определена. Найдем координаты этих точек:

При $x = 2$, $y = 2^2 = 4$. Координаты первой выколотой точки — $(2; 4)$.

При $x = -2$, $y = (-2)^2 = 4$. Координаты второй выколотой точки — $(-2; 4)$.

Следовательно, необходимо построить график параболы $y = x^2$ и отметить на нем выколотые точки с координатами $(2; 4)$ и $(-2; 4)$.

Ответ: График функции — парабола $y=x^2$ с выколотыми точками $(2; 4)$ и $(-2; 4)$.

362. Постройте график функции $y = \frac{x^3}{x}$.

Чтобы построить график функции $y = \frac{x^3}{x}$, проанализируем ее.

Первым шагом определим область определения функции. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, следовательно, $x \neq 0$. Таким образом, область допустимых значений (ОДЗ) для данной функции: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Это означает, что в точке с абсциссой $x=0$ у графика будет разрыв.

На всей области определения, то есть при $x \neq 0$, мы можем упростить данное функциональное выражение, сократив дробь на $x$:

363. Найдите область определения, область значений и нули функции $y = -x^2$. Постройте график этой функции.

Рис. 15

a

б

Для анализа функции $y = -x^2$ последовательно найдем ее основные характеристики.

Область определения

Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента $x$. Функция $y = -x^2$ является квадратичной (многочленом второй степени). Выражение $-x^2$ имеет смысл при любых действительных значениях $x$. Никаких ограничений, таких как деление на ноль или извлечение корня из отрицательного числа, здесь нет.
Следовательно, область определения функции — это множество всех действительных чисел $\mathbb{R}$.

Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Область значений

Область значений функции — это множество всех значений, которые может принимать $y$.
Для любого действительного числа $x$, его квадрат $x^2$ является неотрицательным числом, то есть $x^2 \ge 0$.
Если умножить это неравенство на -1, знак неравенства изменится на противоположный: $-x^2 \le 0$.
Это означает, что значение функции $y = -x^2$ всегда будет меньше или равно нулю. Максимальное значение функция достигает при $x=0$ и оно равно $y=0$.

Ответ: $E(y) = (-\infty; 0]$.

Нули функции

Нули функции — это значения $x$, при которых $y = 0$. Для их нахождения решим уравнение:
$-x^2 = 0$
Умножим обе части на -1:
$x^2 = 0$
$x = 0$
Таким образом, функция имеет единственный нуль в точке $x=0$. Это точка, в которой график функции пересекает ось абсцисс.

Ответ: $x = 0$.

Построение графика

Графиком функции $y = -x^2$ является парабола. Построим ее по точкам, используя найденные свойства.
1. Вершина параболы. Вершина находится в точке максимума функции. Как мы выяснили, это точка $(0; 0)$.
2. Направление ветвей. Коэффициент при $x^2$ равен -1, он отрицательный, следовательно, ветви параболы направлены вниз.
3. Симметрия. Функция является четной, так как $y(-x) = -(-x)^2 = -x^2 = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат (оси OY).
4. Контрольные точки. Найдем несколько точек, принадлежащих графику, для $x > 0$ и отразим их симметрично.
- при $x = 1$, $y = -(1)^2 = -1$. Получаем точку $(1; -1)$. Симметричная ей точка $(-1; -1)$.
- при $x = 2$, $y = -(2)^2 = -4$. Получаем точку $(2; -4)$. Симметричная ей точка $(-2; -4)$.
- при $x = 3$, $y = -(3)^2 = -9$. Получаем точку $(3; -9)$. Симметричная ей точка $(-3; -9)$.
Отметим эти точки на координатной плоскости и соединим их плавной линией.

Ответ: Графиком является парабола с вершиной в начале координат $(0;0)$ и ветвями, направленными вниз, симметричная относительно оси OY.

364. Постройте график уравнения:

1) $\frac{y - x^2}{(x - 1)^2 + (y - 1)^2} = 0;$

2) $\frac{y - x^2}{y - x} = 0.$

1) Рассматривается уравнение $\frac{y - x^2}{(x - 1)^2 + (y - 1)^2} = 0$.

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Это условие можно записать в виде системы:

$\begin{cases} y - x^2 = 0 \\ (x - 1)^2 + (y - 1)^2 \neq 0 \end{cases}$

Первое уравнение системы, $y - x^2 = 0$, можно переписать как $y = x^2$. Графиком этого уравнения является парабола с вершиной в начале координат $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх.

Второе условие, $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 \neq 0$, означает, что из графика нужно исключить точку, в которой знаменатель обращается в ноль. Сумма квадратов равна нулю только если оба слагаемых равны нулю: $x-1 = 0$ и $y-1 = 0$. Это соответствует точке с координатами $(1, 1)$.

Необходимо проверить, принадлежит ли точка $(1, 1)$ параболе $y = x^2$. Подставим $x=1$ в уравнение параболы: $y = 1^2 = 1$. Точка $(1, 1)$ принадлежит параболе, следовательно, ее необходимо исключить ("выколоть") из графика.

Ответ: Графиком уравнения является парабола $y = x^2$ с выколотой точкой $(1, 1)$.

2) Рассматривается уравнение $\frac{y - x^2}{y - x} = 0$.

Данное уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} y - x^2 = 0 \\ y - x \neq 0 \end{cases}$

Первое уравнение, $y = x^2$, задает параболу.

Второе условие, $y - x \neq 0$ (или $y \neq x$), означает, что из графика параболы $y = x^2$ необходимо исключить все точки, у которых ордината равна абсциссе. Эти точки лежат на прямой $y=x$.

Чтобы найти исключаемые точки, найдем точки пересечения параболы $y = x^2$ и прямой $y = x$. Для этого решим систему:

$\begin{cases} y = x^2 \\ y = x \end{cases}$

Приравняв правые части уравнений, получим $x^2 = x$.

$x^2 - x = 0$

$x(x - 1) = 0$

Отсюда получаем два решения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$.

Найдем соответствующие значения $y$:

При $x_1 = 0$, $y_1 = 0^2 = 0$. Первая точка пересечения — $(0, 0)$.

При $x_2 = 1$, $y_2 = 1^2 = 1$. Вторая точка пересечения — $(1, 1)$.

Следовательно, из графика параболы $y = x^2$ необходимо выколоть две точки: $(0, 0)$ и $(1, 1)$.

Ответ: Графиком уравнения является парабола $y = x^2$ с выколотыми точками $(0, 0)$ и $(1, 1)$.

365. Постройте график уравнения:

$\frac{x^2 - y}{(x+2)^2 + (y-4)^2} = 0$

Данное уравнение представляет собой дробь, которая равна нулю. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

Это можно записать в виде системы условий:

$ \begin{cases} x^2 - y = 0 \\ (x+2)^2 + (y-4)^2 \neq 0 \end{cases} $

1. Анализ числителя.

Рассмотрим первое уравнение системы: $x^2 - y = 0$.

Выразим $y$:

$y = x^2$

Это уравнение является уравнением параболы с вершиной в начале координат $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх.

2. Анализ знаменателя (Область допустимых значений).

Рассмотрим второе условие системы: $(x+2)^2 + (y-4)^2 \neq 0$.

Сумма двух квадратов равна нулю только в том случае, если оба выражения, возводимые в квадрат, равны нулю одновременно. То есть, знаменатель обращается в ноль при условии:

$ \begin{cases} x + 2 = 0 \\ y - 4 = 0 \end{cases} $

Решив эту систему, находим координаты точки, которую необходимо исключить из графика:

$ \begin{cases} x = -2 \\ y = 4 \end{cases} $

Таким образом, точка с координатами $(-2, 4)$ не может принадлежать графику исходного уравнения.

3. Построение графика.

Графиком уравнения является парабола $y=x^2$, но с одним ограничением: точка $(-2, 4)$ должна быть из нее исключена ("выколота").

Проверим, лежит ли точка $(-2, 4)$ на параболе $y = x^2$. Подставим $x = -2$ в уравнение параболы:

$y = (-2)^2 = 4$

Действительно, точка $(-2, 4)$ принадлежит параболе. Следовательно, чтобы построить искомый график, нужно:

1. Построить график параболы $y = x^2$. Для этого можно использовать характерные точки: вершина $(0, 0)$, а также точки $(1, 1)$, $(-1, 1)$, $(2, 4)$, $(-2, 4)$, $(3, 9)$, $(-3, 9)$.

2. Найти на параболе точку с координатами $(-2, 4)$ и отметить ее как "выколотую", то есть нарисовать на ее месте небольшой пустой кружок.

Ответ: Графиком уравнения является парабола $y = x^2$ с выколотой точкой $(-2, 4)$.

Рис. 15

а

б

366. Задайте с помощью формул функцию, график которой изображён на рисунке 15.

Рис. 16

364.

1) Чтобы построить график уравнения $\frac{y - x^2}{(x-1)^2 + (y-1)^2} = 0$, необходимо учесть, что дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это приводит к системе условий:

$$ \begin{cases} y - x^2 = 0 \\ (x-1)^2 + (y-1)^2 \neq 0 \end{cases} $$

Из первого уравнения системы получаем $y = x^2$. Это уравнение параболы с вершиной в начале координат.

Второе условие $(x-1)^2 + (y-1)^2 \neq 0$ означает, что точка $(x, y)$ не может быть равна $(1, 1)$, так как сумма двух квадратов равна нулю только в том случае, если оба слагаемых равны нулю, то есть $x-1=0$ и $y-1=0$.

Проверим, принадлежит ли точка $(1, 1)$ параболе $y = x^2$. Подставив $x=1$, получаем $y = 1^2 = 1$. Точка $(1, 1)$ лежит на параболе.

Следовательно, график исходного уравнения представляет собой параболу $y = x^2$, из которой "выколота" точка $(1, 1)$.

Ответ: Графиком уравнения является парабола $y=x^2$ с выколотой точкой $(1, 1)$.

2) Для уравнения $\frac{y - x^2}{y - x} = 0$ применяем тот же принцип. Уравнение равносильно системе:

$$ \begin{cases} y - x^2 = 0 \\ y - x \neq 0 \end{cases} $$

Первое уравнение $y = x^2$ задает параболу. Второе условие $y \neq x$ означает, что из графика параболы нужно исключить точки, в которых ордината равна абсциссе.

Чтобы найти эти точки, решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} y = x^2 \\ y = x \end{cases} $$

Приравняв правые части, получим $x^2 = x$, откуда $x^2 - x = 0$, или $x(x-1) = 0$. Решениями являются $x=0$ и $x=1$.

Если $x=0$, то $y=0$. Получаем точку $(0, 0)$.

Если $x=1$, то $y=1$. Получаем точку $(1, 1)$.

Таким образом, из параболы $y = x^2$ необходимо исключить две точки: $(0, 0)$ и $(1, 1)$.

Ответ: Графиком уравнения является парабола $y=x^2$ с выколотыми точками $(0, 0)$ и $(1, 1)$.

365.

Рассмотрим уравнение $\frac{x^2 - y}{(x+2)^2 + (y-4)^2} = 0$. Оно эквивалентно системе:

$$ \begin{cases} x^2 - y = 0 \\ (x+2)^2 + (y-4)^2 \neq 0 \end{cases} $$

Из первого уравнения получаем $y = x^2$, что является уравнением параболы.

Второе условие $(x+2)^2 + (y-4)^2 \neq 0$ исключает точку, для которой $x+2=0$ и $y-4=0$, то есть точку $(-2, 4)$.

Проверим, лежит ли точка $(-2, 4)$ на параболе $y = x^2$. При $x=-2$ получаем $y = (-2)^2 = 4$. Точка принадлежит параболе.

Значит, график уравнения — это парабола $y = x^2$ с выколотой точкой $(-2, 4)$.

Ответ: Графиком уравнения является парабола $y=x^2$ с выколотой точкой $(-2, 4)$.

366.

а) График на рисунке 15а является кусочно-заданной функцией. Проанализируем каждый участок:

1. При $x < 0$ график представляет собой ветвь параболы с вершиной в $(0,0)$, проходящую через точку $(-1, 1)$. Это соответствует функции $y=x^2$.

2. При $x > 1$ график является горизонтальной прямой $y=1$.

3. На отрезке $[0, 1]$ график соединяет точки $(0,0)$ и $(1,1)$. В точке $(0,0)$ он плавно переходит из параболы $y=x^2$ (касательная горизонтальна), а в точке $(1,1)$ плавно переходит в прямую $y=1$ (касательная также горизонтальна). Этим условиям удовлетворяет кубическая функция вида $y=ax^3+bx^2+cx+d$. Из условий $f(0)=0, f'(0)=0, f(1)=1, f'(1)=0$ находим коэффициенты: $a=-2, b=3, c=0, d=0$. Таким образом, на этом отрезке функция задается формулой $y = -2x^3+3x^2$.

Объединяя все участки, получаем формулу:

$$ y = \begin{cases} x^2, & \text{если } x < 0 \\ -2x^3+3x^2, & \text{если } 0 \le x \le 1 \\ 1, & \text{если } x > 1 \end{cases} $$

Ответ: $y = \begin{cases} x^2, & \text{если } x < 0 \\ -2x^3+3x^2, & \text{если } 0 \le x \le 1 \\ 1, & \text{если } x > 1 \end{cases}$

б) График на рисунке 15б симметричен относительно оси $y$, следовательно, функция является четной. Рассмотрим ее участки:

1. На отрезке $[-2, 2]$ график является параболой с вершиной в $(0,0)$, проходящей через точки $(\pm 1, 1)$ и $(\pm 2, 4)$. Это график функции $y=x^2$.

2. При $x > 2$ и $x < -2$ (или $|x|>2$) график представляет собой два горизонтальных луча на уровне $y=4$.

В точках $(\pm 2, 4)$ происходит "излом" графика, что соответствует переходу от параболы к горизонтальной прямой.

Функцию можно задать с помощью системы:

$$ y = \begin{cases} x^2, & \text{если } |x| \le 2 \\ 4, & \text{если } |x| > 2 \end{cases} $$

Или, раскрыв модуль:

$$ y = \begin{cases} 4, & \text{если } x < -2 \\ x^2, & \text{если } -2 \le x \le 2 \\ 4, & \text{если } x > 2 \end{cases} $$

Ответ: $y = \begin{cases} x^2, & \text{если } |x| \le 2 \\ 4, & \text{если } |x| > 2 \end{cases}$

Рис. 16

367. Задайте с помощью формул функцию, график которой изображён на рисунке 16.

364. 1) $\frac{y - x^2}{(x - 1)^2 + (y - 1)^2} = 0$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это условие можно записать в виде системы:

$\begin{cases} y - x^2 = 0 \\ (x - 1)^2 + (y - 1)^2 \neq 0 \end{cases}$

Из первого уравнения получаем $y = x^2$. Это уравнение параболы с вершиной в начале координат (0, 0) и ветвями, направленными вверх.

Второе условие $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 \neq 0$ означает, что точка $(x, y)$ не может совпадать с точкой $(1, 1)$. Выражение в левой части неравенства равно нулю только в том случае, когда $x-1=0$ и $y-1=0$ одновременно, то есть в точке $(1, 1)$.

Теперь нужно проверить, принадлежит ли точка $(1, 1)$ графику параболы $y = x^2$. Подставим $x = 1$ в уравнение параболы: $y = 1^2 = 1$. Точка $(1, 1)$ принадлежит параболе.

Следовательно, график исходного уравнения — это парабола $y = x^2$ с одной "выколотой" (исключенной) точкой $(1, 1)$.

Ответ: Графиком уравнения является парабола $y = x^2$ с выколотой точкой $(1, 1)$.

364. 2) $\frac{y - x^2}{y - x} = 0$

Аналогично предыдущему пункту, данное уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} y - x^2 = 0 \\ y - x \neq 0 \end{cases}$

Первое уравнение $y = x^2$ задает параболу.

Второе условие $y \neq x$ означает, что из графика параболы нужно исключить все точки, которые также лежат на прямой $y=x$.

Найдем точки пересечения параболы $y = x^2$ и прямой $y = x$. Для этого решим систему уравнений:

$\begin{cases} y = x^2 \\ y = x \end{cases}$

Приравняв правые части, получим: $x^2 = x$.

$x^2 - x = 0$

$x(x - 1) = 0$

Отсюда получаем два значения для $x$: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$.

Найдем соответствующие значения $y$:

Если $x_1 = 0$, то $y_1 = 0^2 = 0$. Точка пересечения — $(0, 0)$.

Если $x_2 = 1$, то $y_2 = 1^2 = 1$. Точка пересечения — $(1, 1)$.

Таким образом, из графика параболы $y = x^2$ необходимо исключить две точки: $(0, 0)$ и $(1, 1)$.

Ответ: Графиком уравнения является парабола $y = x^2$ с выколотыми точками $(0, 0)$ и $(1, 1)$.

365. Постройте график уравнения: $\frac{x^2 - y}{(x + 2)^2 + (y - 4)^2} = 0$

Уравнение представляет собой дробь, равную нулю. Это возможно только если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Запишем это в виде системы:

$\begin{cases} x^2 - y = 0 \\ (x + 2)^2 + (y - 4)^2 \neq 0 \end{cases}$

Из первого уравнения $x^2 - y = 0$ получаем $y = x^2$. Это уравнение параболы с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями вверх.

Второе условие $(x + 2)^2 + (y - 4)^2 \neq 0$ означает, что точка графика не может совпадать с точкой, в которой знаменатель обращается в ноль. Это происходит только при $x+2=0$ и $y-4=0$, то есть в точке $(-2, 4)$.

Проверим, лежит ли точка $(-2, 4)$ на параболе $y = x^2$. Подставим $x = -2$ в уравнение параболы: $y = (-2)^2 = 4$. Точка $(-2, 4)$ действительно лежит на параболе.

Значит, график исходного уравнения — это парабола $y = x^2$, из которой исключена точка $(-2, 4)$.

Ответ: Графиком уравнения является парабола $y = x^2$ с выколотой точкой $(-2, 4)$.

367. Задайте с помощью формул функцию, график которой изображён на рисунке 16.

График, изображенный на рисунке 16, состоит из двух частей, которые стыкуются в точке $(0, 1)$. Это график кусочно-заданной функции. Определим формулу для каждой части.

1. Часть графика при $x \ge 0$.

Эта часть графика является параболой с вершиной в точке $(1, 0)$. Уравнение такой параболы в общем виде: $y = a(x - h)^2 + k$, где $(h, k)$ — координаты вершины. Подставив $(1, 0)$, получаем $y = a(x - 1)^2$.

Чтобы найти коэффициент $a$, воспользуемся еще одной точкой на параболе, например, $(0, 1)$. Подставим ее координаты в уравнение:

$1 = a(0 - 1)^2$

$1 = a(-1)^2$

$1 = a$

Таким образом, для $x \ge 0$ функция задается формулой $y = (x - 1)^2$.

2. Часть графика при $x < 0$.

Эта часть графика является прямой линией. Уравнение прямой имеет вид $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент, а $b$ — ордината точки пересечения с осью OY.

Из графика видно, что прямая пересекает ось OY в точке $(0, 1)$, следовательно, $b = 1$. Уравнение принимает вид $y = kx + 1$.

Для нахождения коэффициента $k$ возьмем еще одну точку на прямой, например, $(-1, 2)$. Подставим ее координаты:

$2 = k(-1) + 1$

$2 = -k + 1$

$k = -1$

Значит, для $x < 0$ функция задается формулой $y = -x + 1$.

Объединение в кусочную функцию.

Объединяя обе части, получаем формулу для функции:

$y = \begin{cases} -x + 1, & \text{если } x < 0 \\ (x - 1)^2, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$

Ответ: $y = \begin{cases} -x + 1, & \text{если } x < 0 \\ (x - 1)^2, & \text{если } x \ge 0 \end{cases}$