Страница 86 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

11. При каком значении k график функции $y = \frac{k}{x}$ проходит через точку A (-3; 0,6)?

А) -1,8 Б) -0,2 В) -2,4 Г) -3,6

Для того чтобы график функции $y = \frac{k}{x}$ проходил через точку $A(-3; 0,6)$, координаты этой точки должны удовлетворять уравнению функции. Это означает, что при подстановке $x = -3$ и $y = 0,6$ в уравнение мы получим верное равенство.

Выполним подстановку координат точки $A$ в уравнение функции:

$0,6 = \frac{k}{-3}$

Чтобы найти $k$, выразим его из этого уравнения. Для этого умножим обе части уравнения на $-3$:

$k = 0,6 \times (-3)$

$k = -1,8$

Таким образом, искомое значение $k$ равно $-1,8$. Этот результат соответствует варианту ответа А).

Ответ: А) -1,8

12. Решите уравнение

$\frac{2x - 1}{x + 4} - \frac{3x + 1}{4 - x} = \frac{4x^2 + 8}{x^2 - 16}$

А) 0; 4

Б) -4; 0

В) -4

Г) 0

12.

Для решения данного рационального уравнения необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определение области допустимых значений (ОДЗ).
Знаменатели дробей в уравнении не могут быть равны нулю.
$x + 4 \neq 0 \implies x \neq -4$
$4 - x \neq 0 \implies x \neq 4$
$x^2 - 16 \neq 0 \implies (x - 4)(x + 4) \neq 0 \implies x \neq 4$ и $x \neq -4$.
Таким образом, ОДЗ: $x$ — любое действительное число, кроме $4$ и $-4$.

2. Упрощение уравнения.
Приведем все дроби к общему знаменателю. Для этого преобразуем знаменатели:
$4 - x = -(x - 4)$
$x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)$
Подставим преобразованные выражения в исходное уравнение: $$ \frac{2x - 1}{x + 4} - \frac{3x + 1}{-(x - 4)} = \frac{4x^2 + 8}{(x - 4)(x + 4)} $$ Избавимся от минуса в знаменателе второй дроби, поменяв знак перед ней: $$ \frac{2x - 1}{x + 4} + \frac{3x + 1}{x - 4} = \frac{4x^2 + 8}{(x - 4)(x + 4)} $$

3. Приведение к общему знаменателю.
Общий знаменатель для всех дробей — $(x - 4)(x + 4)$. Умножим числитель и знаменатель каждой дроби в левой части на недостающий множитель: $$ \frac{(2x - 1)(x - 4)}{(x + 4)(x - 4)} + \frac{(3x + 1)(x + 4)}{(x - 4)(x + 4)} = \frac{4x^2 + 8}{(x - 4)(x + 4)} $$

4. Решение уравнения с числителями.
Поскольку знаменатели равны и не равны нулю (согласно ОДЗ), мы можем приравнять числители: $$ (2x - 1)(x - 4) + (3x + 1)(x + 4) = 4x^2 + 8 $$ Раскроем скобки: $$ (2x^2 - 8x - x + 4) + (3x^2 + 12x + x + 4) = 4x^2 + 8 $$ Приведем подобные слагаемые в каждой скобке: $$ (2x^2 - 9x + 4) + (3x^2 + 13x + 4) = 4x^2 + 8 $$ Сложим многочлены в левой части: $$ 5x^2 + 4x + 8 = 4x^2 + 8 $$

5. Решение полученного квадратного уравнения.
Перенесем все слагаемые в левую часть: $$ 5x^2 - 4x^2 + 4x + 8 - 8 = 0 $$ $$ x^2 + 4x = 0 $$ Вынесем общий множитель $x$ за скобки: $$ x(x + 4) = 0 $$ Это уравнение имеет два корня:
$x_1 = 0$
$x_2 = -4$

6. Проверка корней на соответствие ОДЗ.
Мы выяснили, что $x \neq 4$ и $x \neq -4$.
- Корень $x_1 = 0$ удовлетворяет ОДЗ, следовательно, является решением уравнения.
- Корень $x_2 = -4$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при этом значении знаменатели исходного уравнения обращаются в ноль. Следовательно, это посторонний корень.

Таким образом, уравнение имеет единственное решение $x = 0$. Среди предложенных вариантов ответа это вариант Г.

Ответ: 0