Страница 82 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

327. Проволочный реостат (рис. 9) подключён к блоку питания. Сопротивление реостата $R$ зависит от положения ползунка и может изменяться в пределах от 0 до 6 Ом. Пользуясь графиком зависимости силы тока $I$ от сопротивления $R$ (рис. 10), при условии, что напряжение на концах реостата остаётся неизменным, определите:

1) чему равна сила тока, если сопротивление равно 2 Ом;

2) при каком значении сопротивления сила тока равна 3 А;

3) сколько вольт составляет напряжение на концах реостата.

1) чему равна сила тока, если сопротивление равно 2 Ом;

Для ответа на этот вопрос воспользуемся графиком зависимости силы тока $I$ от сопротивления $R$ (рис. 10). Найдём на горизонтальной оси, отвечающей за сопротивление ($R$, Ом), значение 2. От этой точки проведём перпендикулярную линию вверх до пересечения с кривой графика. Затем от точки пересечения проведём горизонтальную линию влево до пересечения с вертикальной осью, отвечающей за силу тока ($I$, А). Значение в точке пересечения с осью $I$ и будет искомой силой тока. По графику видно, что значению $R = 2$ Ом соответствует сила тока $I = 3$ А.

Ответ: 3 А.

2) при каком значении сопротивления сила тока равна 3 А;

Для определения сопротивления, при котором сила тока равна 3 А, выполним обратную операцию. Найдём на вертикальной оси ($I$, А) значение 3. От этой точки проведём горизонтальную линию вправо до пересечения с кривой графика. От точки пересечения опустим перпендикуляр на горизонтальную ось ($R$, Ом). Значение в точке пересечения с осью $R$ и будет искомым сопротивлением. По графику видно, что силе тока $I = 3$ А соответствует сопротивление $R = 2$ Ом.

Ответ: 2 Ом.

3) сколько вольт составляет напряжение на концах реостата.

В условии задачи сказано, что напряжение $U$ на концах реостата остаётся неизменным. Чтобы найти это напряжение, можно воспользоваться законом Ома для участка цепи: $I = \frac{U}{R}$, откуда напряжение $U = I \cdot R$. Для расчёта можно использовать любую точку с графика. Возьмём, например, данные из первого пункта: при сопротивлении $R = 2$ Ом сила тока $I = 3$ А.

Подставим эти значения в формулу:

$U = 3 \text{ А} \cdot 2 \text{ Ом} = 6 \text{ В}$

Для проверки можно взять любую другую точку с графика. Например, при максимальном сопротивлении $R = 6$ Ом сила тока, согласно графику, равна $I = 1$ А.

$U = 1 \text{ А} \cdot 6 \text{ Ом} = 6 \text{ В}$

Результаты совпадают, следовательно, напряжение на концах реостата постоянно и составляет 6 В.

Ответ: 6 В.

2) при каком значении сопротивления сила тока равна 3 А;

3) сколько вольт составляет напряжение на концах реостата.

328. Найдите значение $k$, при котором график функции $y = \frac{k}{x}$ проходит через точку:

1) A (−5; 4);

2) B $\left(\frac{1}{6}; -2\right);$

3) C (1,5; -8).

Для того чтобы график функции $y = \frac{k}{x}$ проходил через определенную точку, координаты этой точки $(x; y)$ должны удовлетворять уравнению функции. Это означает, что если подставить значения координат точки в уравнение, получится верное числовое равенство. Из уравнения функции $y = \frac{k}{x}$ можно выразить коэффициент $k$: $k = x \cdot y$. Используем эту формулу для каждой из заданных точек.

1) A (–5; 4)

Для точки A имеем $x = -5$ и $y = 4$.

Найдем значение $k$, подставив эти значения в формулу $k = x \cdot y$:

$k = (-5) \cdot 4 = -20$

Таким образом, при $k = -20$ график функции $y = \frac{-20}{x}$ пройдет через точку A(–5; 4).

Ответ: $k = -20$.

2) B ($\frac{1}{6}$; –2)

Для точки B имеем $x = \frac{1}{6}$ и $y = -2$.

Найдем значение $k$:

$k = \frac{1}{6} \cdot (-2) = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}$

Таким образом, при $k = -\frac{1}{3}$ график функции $y = \frac{-1/3}{x}$ или $y = -\frac{1}{3x}$ пройдет через точку B($\frac{1}{6}$; –2).

Ответ: $k = -\frac{1}{3}$.

3) C (1,5; –8)

Для точки C имеем $x = 1,5$ и $y = -8$.

Найдем значение $k$:

$k = 1,5 \cdot (-8) = -12$

Таким образом, при $k = -12$ график функции $y = \frac{-12}{x}$ пройдет через точку C(1,5; –8).

Ответ: $k = -12$.

329. График функции $y = \frac{k}{x}$ проходит через точку A (10; 1,6). Проходит ли график этой функции через точку:

1) B (-1; -16);

2) C (-2; 8)?

Чтобы найти значение коэффициента $k$, при котором график функции $y = \frac{k}{x}$ проходит через заданную точку, нужно подставить координаты этой точки $(x_0; y_0)$ в уравнение функции. Получится верное равенство $y_0 = \frac{k}{x_0}$. Из этого равенства можно выразить $k$: $k = x_0 \cdot y_0$.

Подставим координаты точки A в уравнение $y = \frac{k}{x}$. В данном случае $x = -5$ и $y = 4$.

$4 = \frac{k}{-5}$

Чтобы найти $k$, умножим обе части уравнения на $-5$:

$k = 4 \cdot (-5)$

$k = -20$

Ответ: $k = -20$.

Подставим координаты точки B в уравнение $y = \frac{k}{x}$. В данном случае $x = \frac{1}{6}$ и $y = -2$.

$-2 = \frac{k}{\frac{1}{6}}$

Чтобы найти $k$, умножим обе части уравнения на $\frac{1}{6}$:

$k = -2 \cdot \frac{1}{6}$

$k = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}$

Ответ: $k = -\frac{1}{3}$.

Подставим координаты точки C в уравнение $y = \frac{k}{x}$. В данном случае $x = 1,5$ и $y = -8$.

$-8 = \frac{k}{1,5}$

Чтобы найти $k$, умножим обе части уравнения на $1,5$:

$k = -8 \cdot 1,5$

$k = -12$

Ответ: $k = -12$.

330. Постройте в одной системе координат графики функций $y = \frac{4}{x}$ и $y = x$ и определите координаты точек их пересечения.

Для решения задачи необходимо построить графики двух функций в одной координатной плоскости и найти их точки пересечения. Решение можно разделить на два этапа: построение графиков и аналитическое нахождение точек пересечения.

Построение графиков

1. График функции $y = x$.
Это линейная функция, её график — прямая линия. Эта прямая является биссектрисой первого и третьего координатных углов и проходит через начало координат. Для построения прямой достаточно двух точек, например, $(0, 0)$ и $(3, 3)$.

2. График функции $y = \frac{4}{x}$.
Это обратная пропорциональность, её график — гипербола. Поскольку коэффициент $k=4$ положителен, ветви гиперболы расположены в первом и третьем координатных квадрантах. Оси координат являются асимптотами графика. Для построения найдем несколько точек.
Для первой ветви (I квадрант): при $x=1, y=4$; при $x=2, y=2$; при $x=4, y=1$. Получаем точки $(1, 4)$, $(2, 2)$, $(4, 1)$.
Для второй ветви (III квадрант): при $x=-1, y=-4$; при $x=-2, y=-2$; при $x=-4, y=-1$. Получаем точки $(-1, -4)$, $(-2, -2)$, $(-4, -1)$.
Построив эти точки на координатной плоскости и соединив их плавными линиями, мы получим два графика. Визуально можно предположить, что они пересекаются в точках $(2, 2)$ и $(-2, -2)$.

Определение координат точек пересечения

Чтобы точно найти координаты точек пересечения, необходимо решить систему уравнений, составленную из уравнений данных функций: $$ \begin{cases} y = \frac{4}{x} \\ y = x \end{cases} $$

Так как в обоих уравнениях левые части равны ($y$), мы можем приравнять их правые части: $$x = \frac{4}{x}$$

Учтем, что область определения функции $y = \frac{4}{x}$ исключает $x=0$. Поэтому мы можем умножить обе части уравнения на $x$: $$x \cdot x = 4$$ $$x^2 = 4$$

Данное квадратное уравнение имеет два корня: $$x_1 = \sqrt{4} = 2$$ $$x_2 = -\sqrt{4} = -2$$

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого найденного $x$, подставив их в более простое уравнение $y=x$:

• Если $x_1 = 2$, то $y_1 = 2$. Координаты первой точки пересечения: $(2, 2)$.
• Если $x_2 = -2$, то $y_2 = -2$. Координаты второй точки пересечения: $(-2, -2)$.

Аналитический расчет подтверждает, что графики функций пересекаются в двух точках.

Ответ: $(2, 2)$ и $(-2, -2)$.

331. Решите графически уравнение:

1) $ \frac{4}{x} = 4 - x, $

2) $ x - 2 = \frac{3}{x}; $

3) $ x + 2 = -\frac{5}{x}. $

1) Чтобы решить уравнение $\frac{4}{x} = 4 - x$ графически, построим в одной системе координат графики двух функций: $y_1 = \frac{4}{x}$ и $y_2 = 4 - x$.

График функции $y_1 = \frac{4}{x}$ — это гипербола. Так как коэффициент $k=4 > 0$, ее ветви расположены в I и III координатных четвертях. Асимптотами являются оси координат. Найдем несколько точек для построения:

• при $x=1$, $y=4$; точка (1, 4)
• при $x=2$, $y=2$; точка (2, 2)
• при $x=4$, $y=1$; точка (4, 1)
• при $x=-1$, $y=-4$; точка (-1, -4)
• при $x=-2$, $y=-2$; точка (-2, -2)
• при $x=-4$, $y=-1$; точка (-4, -1)

График функции $y_2 = 4 - x$ — это прямая. Для ее построения достаточно двух точек:

• при $x=0$, $y=4$; точка (0, 4)
• при $x=4$, $y=0$; точка (4, 0)

Построив оба графика в одной системе координат, мы увидим, что они имеют одну общую точку (касаются друг друга). Абсцисса этой точки и есть решение уравнения.

Точка пересечения (касания) имеет координаты (2, 2).

Следовательно, решением уравнения является $x = 2$.

Ответ: 2

2) Чтобы решить уравнение $x - 2 = \frac{3}{x}$ графически, построим в одной системе координат графики функций $y_1 = x - 2$ и $y_2 = \frac{3}{x}$.

График функции $y_1 = x - 2$ — это прямая. Найдем две точки для ее построения:

• при $x=0$, $y=-2$; точка (0, -2)
• при $x=2$, $y=0$; точка (2, 0)

График функции $y_2 = \frac{3}{x}$ — это гипербола. Так как коэффициент $k=3 > 0$, ее ветви расположены в I и III координатных четвертях. Найдем несколько точек для построения:

• при $x=1$, $y=3$; точка (1, 3)
• при $x=3$, $y=1$; точка (3, 1)
• при $x=-1$, $y=-3$; точка (-1, -3)
• при $x=-3$, $y=-1$; точка (-3, -1)

Построим графики. Они пересекаются в двух точках. Абсциссы этих точек являются решениями исходного уравнения.

Точки пересечения имеют координаты: (3, 1) и (-1, -3).

Следовательно, решениями уравнения являются $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$.

Ответ: -1; 3

3) Чтобы решить уравнение $x + 2 = -\frac{5}{x}$ графически, построим в одной системе координат графики функций $y_1 = x + 2$ и $y_2 = -\frac{5}{x}$.

График функции $y_1 = x + 2$ — это прямая. Найдем две точки для ее построения:

• при $x=0$, $y=2$; точка (0, 2)
• при $x=-2$, $y=0$; точка (-2, 0)

График функции $y_2 = -\frac{5}{x}$ — это гипербола. Так как коэффициент $k=-5 < 0$, ее ветви расположены во II и IV координатных четвертях. Найдем несколько точек для построения:

• при $x=1$, $y=-5$; точка (1, -5)
• при $x=5$, $y=-1$; точка (5, -1)
• при $x=-1$, $y=5$; точка (-1, 5)
• при $x=-5$, $y=1$; точка (-5, 1)

Построив оба графика, мы видим, что они не пересекаются. Это означает, что у уравнения нет действительных корней.

Проверим это алгебраически. Преобразуем уравнение (при $x \neq 0$):
$x(x + 2) = -5$
$x^2 + 2x + 5 = 0$
Найдем дискриминант квадратного уравнения: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = -16$.
Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней, что и показал графический метод.

Ответ: нет решений

332. Решите графически уравнение:

1) $ \frac{8}{x} = 6 - x, $

2) $ 2x = \frac{2}{x}; $

3) $ \frac{7}{x} = -x. $

1) Чтобы решить уравнение $ \frac{8}{x} = 6 - x $ графически, необходимо построить в одной системе координат графики двух функций: $ y = \frac{8}{x} $ и $ y = 6 - x $. Решениями уравнения будут абсциссы (координаты $x$) точек пересечения этих графиков.

a) График функции $ y = \frac{8}{x} $ — это гипербола. Поскольку коэффициент $ k=8 $ положительный, ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях. Для построения графика составим таблицу значений:

б) График функции $ y = 6 - x $ — это прямая. Для ее построения достаточно найти две точки. Например:

• при $ x = 0 $, $ y = 6 $. Точка (0; 6).
• при $ x = 6 $, $ y = 0 $. Точка (6; 0).

Построив оба графика в одной системе координат, мы увидим, что они пересекаются в двух точках. Координаты этих точек пересечения: (2; 4) и (4; 2).

Абсциссы этих точек $ x=2 $ и $ x=4 $ являются корнями исходного уравнения.

Ответ: 2; 4.

2) Чтобы решить уравнение $ 2x = \frac{2}{x} $ графически, построим в одной системе координат графики функций $ y = 2x $ и $ y = \frac{2}{x} $.

a) График функции $ y = 2x $ — это прямая, проходящая через начало координат (0; 0). Для построения возьмем еще одну точку, например, при $ x=1 $, $ y=2 $. Точка (1; 2).

б) График функции $ y = \frac{2}{x} $ — это гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях, так как $ k=2 > 0 $. Составим таблицу значений:

Построив графики, находим точки их пересечения. Это точки (1; 2) и (-1; -2).

Абсциссы этих точек, $ x=1 $ и $ x=-1 $, являются решениями уравнения.

Ответ: -1; 1.

3) Чтобы решить уравнение $ \frac{7}{x} = -x $ графически, построим в одной системе координат графики функций $ y = \frac{7}{x} $ и $ y = -x $.

a) График функции $ y = \frac{7}{x} $ — это гипербола. Так как коэффициент $ k=7 > 0 $, ее ветви расположены в I и III координатных четвертях.

б) График функции $ y = -x $ — это прямая, которая является биссектрисой II и IV координатных четвертей.

Так как ветви гиперболы $ y = \frac{7}{x} $ лежат в I и III четвертях, а прямая $ y = -x $ (за исключением точки (0; 0), которая не принадлежит графику гиперболы) лежит во II и IV четвертях, у этих графиков нет общих точек.

Таким образом, графики функций не пересекаются, а значит, уравнение не имеет действительных решений.

Ответ: решений нет.

333. Решите графически систему уравнений:

1) $\begin{cases} xy = 4, \\ 4y = x; \end{cases}$ 2) $\begin{cases} x - y = 1, \\ xy = 2. \end{cases}$

1)

Для того чтобы решить систему уравнений графически, необходимо построить графики каждого уравнения в одной и той же системе координат и найти точки их пересечения.

Первое уравнение системы: $xy = 4$. Преобразуем его к виду функции $y(x)$, получим $y = \frac{4}{x}$. Это функция обратной пропорциональности, графиком которой является гипербола. Так как коэффициент $k=4$ положительный, ветви гиперболы будут располагаться в I и III координатных четвертях.

Составим таблицу нескольких точек для построения графика $y = \frac{4}{x}$:

• $x = 1, y = 4$
• $x = 2, y = 2$
• $x = 4, y = 1$
• $x = -1, y = -4$
• $x = -2, y = -2$
• $x = -4, y = -1$

Второе уравнение системы: $4y = x$. Преобразуем его к виду $y = \frac{1}{4}x$. Это линейная функция, графиком которой является прямая, проходящая через начало координат $(0,0)$.

Для построения прямой достаточно двух точек:

• $x = 0, y = 0$
• $x = 4, y = 1$

Построив оба графика в одной системе координат, мы увидим, что они пересекаются в двух точках. Координаты этих точек и являются решением системы.

Точки пересечения графиков: $(4, 1)$ и $(-4, -1)$.

Ответ: $(4, 1), (-4, -1)$.

2)

Решим вторую систему уравнений графическим методом.

Первое уравнение: $x - y = 1$. Выразим $y$ через $x$: $y = x - 1$. Это линейная функция, графиком которой является прямая.

Найдем координаты двух точек для построения этой прямой:

• $x = 0, y = -1$
• $x = 2, y = 1$

Второе уравнение: $xy = 2$. Выразим $y$: $y = \frac{2}{x}$. Это функция обратной пропорциональности, ее график — гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях ($k=2 > 0$).

Составим таблицу точек для построения графика $y = \frac{2}{x}$:

• $x = 1, y = 2$
• $x = 2, y = 1$
• $x = -1, y = -2$
• $x = -2, y = -1$

Построив графики прямой $y = x - 1$ и гиперболы $y = \frac{2}{x}$ в одной системе координат, найдем точки их пересечения.

Точки пересечения графиков: $(2, 1)$ и $(-1, -2)$.

Ответ: $(2, 1), (-1, -2)$.