Страница 81 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

321. Задана функция $y = -\frac{36}{x}$. Найдите:

1) значение функции, если значение аргумента равно: -4; 0,9; 18;

2) значение аргумента, при котором значение функции равно: 6; -0,3; 8.

1) значение функции, если значение аргумента равно: -4; 0,9; 18;

Дана функция $y = -\frac{36}{x}$. Чтобы найти значение функции (y), нужно подставить в формулу заданные значения аргумента (x).

При $x = -4$:
$y = -\frac{36}{-4} = 9$

При $x = 0,9$:
$y = -\frac{36}{0,9} = -\frac{360}{9} = -40$

При $x = 18$:
$y = -\frac{36}{18} = -2$

Ответ: 9; -40; -2.

2) значение аргумента, при котором значение функции равно: 6; -0,3; 8.

Чтобы найти значение аргумента (x), выразим его из формулы $y = -\frac{36}{x}$.
$y \cdot x = -36$
$x = -\frac{36}{y}$
Теперь подставим в полученную формулу заданные значения функции (y).

При $y = 6$:
$x = -\frac{36}{6} = -6$

При $y = -0,3$:
$x = -\frac{36}{-0,3} = \frac{36}{0,3} = \frac{360}{3} = 120$

При $y = 8$:
$x = -\frac{36}{8} = -\frac{9}{2} = -4,5$

Ответ: -6; 120; -4,5.

322. Постройте график функции $y = -\frac{8}{x}$. Пользуясь графиком, найдите:

1) значение функции, если значение аргумента равно: 4; -1;

2) значение аргумента, при котором значение функции равно: 2; -8;

3) значения аргумента, при которых функция принимает положительные значения.

Для построения графика функции $y = -\frac{8}{x}$ сначала определим ее тип и свойства. Это обратная пропорциональность, графиком которой является гипербола. Поскольку коэффициент $k=-8$ отрицательный, ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях. Ось ординат (прямая $x=0$) и ось абсцисс (прямая $y=0$) являются асимптотами графика.

Составим таблицу значений для нескольких точек, чтобы точно построить график:

Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их плавными линиями, мы получим две ветви гиперболы. Теперь, используя построенный график, ответим на вопросы.

1) значение функции, если значение аргумента равно: 4; -1;
Чтобы найти значение функции при $x=4$, находим на оси абсцисс (горизонтальной оси) точку 4. От этой точки опускаем перпендикуляр до пересечения с графиком. Из точки пересечения проводим перпендикуляр к оси ординат (вертикальной оси) и видим, что он попадает в точку -2. Таким образом, при $x=4$, $y=-2$.
Чтобы найти значение функции при $x=-1$, находим на оси абсцисс точку -1. От этой точки поднимаем перпендикуляр до пересечения с графиком. Из точки пересечения проводим перпендикуляр к оси ординат и видим, что он попадает в точку 8. Таким образом, при $x=-1$, $y=8$.
Ответ: при $x=4$ значение функции $y=-2$; при $x=-1$ значение функции $y=8$.

2) значение аргумента, при котором значение функции равно: 2; -8;
Чтобы найти значение аргумента, при котором $y=2$, находим на оси ординат точку 2. Из этой точки проводим горизонтальную линию до пересечения с графиком (в данном случае, с ветвью во второй четверти). Из точки пересечения опускаем перпендикуляр на ось абсцисс и попадаем в точку -4. Таким образом, $y=2$ при $x=-4$.
Чтобы найти значение аргумента, при котором $y=-8$, находим на оси ординат точку -8. Из этой точки проводим горизонтальную линию до пересечения с графиком (с ветвью в четвертой четверти). Из точки пересечения поднимаем перпендикуляр на ось абсцисс и попадаем в точку 1. Таким образом, $y=-8$ при $x=1$.
Ответ: значение функции равно 2 при $x=-4$; значение функции равно -8 при $x=1$.

3) значения аргумента, при которых функция принимает положительные значения.
Функция принимает положительные значения ($y > 0$), когда ее график расположен выше оси абсцисс (оси Ox). Глядя на построенный график, мы видим, что это ветвь гиперболы, расположенная во второй координатной четверти. Все точки на этой ветви имеют отрицательные значения аргумента $x$.
Следовательно, функция $y = -\frac{8}{x}$ принимает положительные значения при всех $x < 0$.
Ответ: функция принимает положительные значения при $x < 0$, то есть на промежутке $(-\infty; 0)$.

323. Постройте график функции $y = \frac{10}{x}$. Пользуясь графиком, найдите:

1) значение функции, если значение аргумента равно: 2; -10;

2) значение аргумента, при котором значение функции равно: 5; -2;

3) значения аргумента, при которых функция принимает отрицательные значения.

Заданная функция $y = \frac{10}{x}$ является обратной пропорциональностью. Графиком этой функции является гипербола. Поскольку коэффициент $k=10$ положителен, ветви гиперболы располагаются в первой и третьей координатных четвертях.

Для построения графика составим таблицу значений функции для нескольких значений аргумента:

Построим график, нанеся точки из таблицы на координатную плоскость и соединив их плавными линиями. Асимптотами графика служат оси координат.

Теперь воспользуемся графиком для ответа на вопросы.

1) значение функции, если значение аргумента равно: 2; –10;
Найдём на графике точку с абсциссой $x=2$. Для этого из точки 2 на оси $x$ поднимем перпендикуляр до пересечения с графиком. Точка пересечения имеет ординату $y=5$.
Аналогично для $x=-10$. Найдём на графике точку с абсциссой $x=-10$. Перпендикуляр из этой точки к оси $x$ пересекает график в точке с ординатой $y=-1$.
Ответ: при $x=2$ значение функции $y=5$; при $x=–10$ значение функции $y=–1$.

2) значение аргумента, при котором значение функции равно: 5; –2;
Найдём на графике точку с ординатой $y=5$. Для этого из точки 5 на оси $y$ проведём горизонтальную прямую до пересечения с графиком. Точка пересечения имеет абсциссу $x=2$.
Аналогично для $y=-2$. Горизонтальная прямая из точки -2 на оси $y$ пересекает график в точке с абсциссой $x=-5$.
Ответ: значение функции равно 5 при $x=2$; значение функции равно –2 при $x=–5$.

3) значения аргумента, при которых функция принимает отрицательные значения.
Функция принимает отрицательные значения ($y < 0$), когда её график расположен ниже оси абсцисс ($x$).
Из графика видно, что это вся ветвь гиперболы, которая находится в III координатной четверти. Этой ветви соответствуют все отрицательные значения аргумента $x$.
Следовательно, функция принимает отрицательные значения при $x < 0$.
Ответ: $x \in (-\infty; 0)$.

ные значения.

324. Не выполняя построения графика функции $y = \frac{28}{x}$, определите, проходит ли график через точку:

1) A (-4; -7);

2) B (14; -2);

3) C (0,5; 14);

4) D (0,2; 140).

Для того чтобы определить, проходит ли график функции $y = \frac{28}{x}$ через заданную точку, не выполняя построения, нужно подставить координаты этой точки $(x_0; y_0)$ в уравнение функции. Если в результате подстановки $x_0$ и $y_0$ получается верное числовое равенство, то точка лежит на графике. Если равенство неверное, то точка не лежит на графике.

1) A (-4; -7);

Подставляем координаты точки A в уравнение функции. Здесь $x = -4$ и $y = -7$.

Проверяем, выполняется ли равенство $y = \frac{28}{x}$:

$-7 = \frac{28}{-4}$

$-7 = -7$

Равенство верное, следовательно, график функции проходит через точку A.

Ответ: проходит.

2) B (14; -2);

Подставляем координаты точки B в уравнение функции. Здесь $x = 14$ и $y = -2$.

Проверяем равенство:

$-2 = \frac{28}{14}$

$-2 = 2$

Равенство неверное, так как $-2 \neq 2$. Следовательно, график функции не проходит через точку B.

Ответ: не проходит.

3) C (0,5; 14);

Подставляем координаты точки C в уравнение функции. Здесь $x = 0,5$ и $y = 14$.

Проверяем равенство:

$14 = \frac{28}{0,5}$

Чтобы разделить на десятичную дробь 0,5, можно умножить делимое и делитель на 10, либо вспомнить, что деление на 0,5 равносильно умножению на 2:

$14 = 28 \times 2$

$14 = 56$

Равенство неверное, так как $14 \neq 56$. Следовательно, график функции не проходит через точку C.

Ответ: не проходит.

4) D (0,2; 140).

Подставляем координаты точки D в уравнение функции. Здесь $x = 0,2$ и $y = 140$.

Проверяем равенство:

$140 = \frac{28}{0,2}$

Выполним деление:

$140 = \frac{280}{2}$

$140 = 140$

Равенство верное, следовательно, график функции проходит через точку D.

Ответ: проходит.

325. Истинным или ложным является высказывание: график функции

$y = -\frac{48}{x}$ проходит через точку:

1) A (-6; -8);

2) B (12; -4);

3) C (0,3; -16);

4) D (0,4; -120)?

Рис. 8

t, ч

Чтобы определить, проходит ли график функции $y = -\frac{48}{x}$ через заданную точку с координатами $(x_0; y_0)$, необходимо подставить значение абсциссы $x_0$ в уравнение функции и проверить, совпадает ли полученное значение $y$ с ординатой $y_0$. Если равенство выполняется, высказывание истинно, если нет — ложно.

1) A (–6; –8);
Подставим координату $x = -6$ в уравнение функции:
$y = -\frac{48}{-6} = 8$
Полученное значение $y = 8$ не совпадает с координатой $y = -8$ точки А. Следовательно, график функции не проходит через точку А.
Ответ: высказывание ложно.

2) B (12; –4);
Подставим координату $x = 12$ в уравнение функции:
$y = -\frac{48}{12} = -4$
Полученное значение $y = -4$ совпадает с координатой $y = -4$ точки B. Следовательно, график функции проходит через точку B.
Ответ: высказывание истинно.

3) C (0,3; –16);
Подставим координату $x = 0,3$ в уравнение функции:
$y = -\frac{48}{0,3} = -\frac{480}{3} = -160$
Полученное значение $y = -160$ не совпадает с координатой $y = -16$ точки C. Следовательно, график функции не проходит через точку C.
Ответ: высказывание ложно.

4) D (0,4; –120)?
Подставим координату $x = 0,4$ в уравнение функции:
$y = -\frac{48}{0,4} = -\frac{480}{4} = -120$
Полученное значение $y = -120$ совпадает с координатой $y = -120$ точки D. Следовательно, график функции проходит через точку D.
Ответ: высказывание истинно.

2) B (12; -4);

3) C (0,3; -16);

4) D (0,4; -120)?

Рис. 8

326. На рисунке 8 изображён график зависимости времени $t$ движения из пункта A в пункт B от скорости $v$ движения. Пользуясь графиком, определите:

1) за какое время можно добраться из пункта A в пункт B, если двигаться со скоростью 8 км/ч; 24 км/ч;

2) с какой скоростью нужно двигаться, чтобы добраться из пункта A в пункт B за 3 ч; за 4 ч;

3) чему равно расстояние между пунктами A и B.

1) за какое время можно добраться из пункта А в пункт В, если двигаться со скоростью 8 км/ч; 24 км/ч;

Для определения времени по графику находим заданное значение скорости $v$ на горизонтальной оси, проводим вертикальную линию до пересечения с графиком, а от точки пересечения — горизонтальную линию до вертикальной оси времени $t$.

- При скорости $v = 8$ км/ч: находим на горизонтальной оси значение 8. Поднимаясь до графика и двигаясь влево к вертикальной оси, видим, что соответствующее значение времени $t = 6$ ч.

- При скорости $v = 24$ км/ч: находим на горизонтальной оси значение 24. Поднимаясь до графика и двигаясь влево к вертикальной оси, видим, что соответствующее значение времени $t = 2$ ч.

Ответ: при скорости 8 км/ч время в пути составит 6 ч, а при скорости 24 км/ч — 2 ч.

2) с какой скоростью нужно двигаться, чтобы добраться из пункта А в пункт В за 3 ч; за 4 ч;

Для определения скорости по графику находим заданное значение времени $t$ на вертикальной оси, проводим горизонтальную линию до пересечения с графиком, а от точки пересечения — вертикальную линию вниз до горизонтальной оси скорости $v$.

- Чтобы добраться за $t = 3$ ч: находим на вертикальной оси значение 3. Двигаясь вправо до графика и опускаясь вниз к горизонтальной оси, видим, что соответствующее значение скорости $v = 16$ км/ч.

- Чтобы добраться за $t = 4$ ч: находим на вертикальной оси значение 4. Двигаясь вправо до графика и опускаясь вниз к горизонтальной оси, видим, что соответствующее значение скорости $v = 12$ км/ч.

Ответ: чтобы добраться за 3 ч, нужно двигаться со скоростью 16 км/ч; чтобы добраться за 4 ч — со скоростью 12 км/ч.

3) чему равно расстояние между пунктами А и В.

Расстояние $S$ вычисляется по формуле $S = v \cdot t$, где $v$ — скорость, а $t$ — время. Поскольку расстояние между пунктами А и В постоянно, для его нахождения можно использовать любую пару соответствующих значений скорости и времени с графика.

Возьмем, к примеру, данные из первого пункта: при скорости $v = 8$ км/ч время в пути составляет $t = 6$ ч.

$S = 8 \text{ км/ч} \cdot 6 \text{ ч} = 48$ км.

Для проверки можно взять другую точку, например, $v = 12$ км/ч и $t = 4$ ч:

$S = 12 \text{ км/ч} \cdot 4 \text{ ч} = 48$ км.

Результаты совпадают.

Ответ: расстояние между пунктами А и В равно 48 км.