Номер 330, страница 82 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 10. Функция y=k/x и её график. Глава 1. Рациональные выражения - номер 330, страница 82.

Условие.

330. Постройте в одной системе координат графики функций $y = \frac{4}{x}$ и $y = x$ и определите координаты точек их пересечения.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения задачи необходимо построить графики двух функций в одной координатной плоскости и найти их точки пересечения. Решение можно разделить на два этапа: построение графиков и аналитическое нахождение точек пересечения.

Построение графиков

1. График функции $y = x$.
Это линейная функция, её график — прямая линия. Эта прямая является биссектрисой первого и третьего координатных углов и проходит через начало координат. Для построения прямой достаточно двух точек, например, $(0, 0)$ и $(3, 3)$.

2. График функции $y = \frac{4}{x}$.
Это обратная пропорциональность, её график — гипербола. Поскольку коэффициент $k=4$ положителен, ветви гиперболы расположены в первом и третьем координатных квадрантах. Оси координат являются асимптотами графика. Для построения найдем несколько точек.
Для первой ветви (I квадрант): при $x=1, y=4$; при $x=2, y=2$; при $x=4, y=1$. Получаем точки $(1, 4)$, $(2, 2)$, $(4, 1)$.
Для второй ветви (III квадрант): при $x=-1, y=-4$; при $x=-2, y=-2$; при $x=-4, y=-1$. Получаем точки $(-1, -4)$, $(-2, -2)$, $(-4, -1)$.
Построив эти точки на координатной плоскости и соединив их плавными линиями, мы получим два графика. Визуально можно предположить, что они пересекаются в точках $(2, 2)$ и $(-2, -2)$.

Определение координат точек пересечения

Чтобы точно найти координаты точек пересечения, необходимо решить систему уравнений, составленную из уравнений данных функций: $$ \begin{cases} y = \frac{4}{x} \\ y = x \end{cases} $$

Так как в обоих уравнениях левые части равны ($y$), мы можем приравнять их правые части: $$x = \frac{4}{x}$$

Учтем, что область определения функции $y = \frac{4}{x}$ исключает $x=0$. Поэтому мы можем умножить обе части уравнения на $x$: $$x \cdot x = 4$$ $$x^2 = 4$$

Данное квадратное уравнение имеет два корня: $$x_1 = \sqrt{4} = 2$$ $$x_2 = -\sqrt{4} = -2$$

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого найденного $x$, подставив их в более простое уравнение $y=x$:

• Если $x_1 = 2$, то $y_1 = 2$. Координаты первой точки пересечения: $(2, 2)$.
• Если $x_2 = -2$, то $y_2 = -2$. Координаты второй точки пересечения: $(-2, -2)$.

Аналитический расчет подтверждает, что графики функций пересекаются в двух точках.

Ответ: $(2, 2)$ и $(-2, -2)$.