Номер 331, страница 82 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 10. Функция y=k/x и её график. Упражнения - номер 331, страница 82.

Условие.

331. Решите графически уравнение:

1) $ \frac{4}{x} = 4 - x, $

2) $ x - 2 = \frac{3}{x}; $

3) $ x + 2 = -\frac{5}{x}. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы решить уравнение $\frac{4}{x} = 4 - x$ графически, построим в одной системе координат графики двух функций: $y_1 = \frac{4}{x}$ и $y_2 = 4 - x$.

График функции $y_1 = \frac{4}{x}$ — это гипербола. Так как коэффициент $k=4 > 0$, ее ветви расположены в I и III координатных четвертях. Асимптотами являются оси координат. Найдем несколько точек для построения:

• при $x=1$, $y=4$; точка (1, 4)
• при $x=2$, $y=2$; точка (2, 2)
• при $x=4$, $y=1$; точка (4, 1)
• при $x=-1$, $y=-4$; точка (-1, -4)
• при $x=-2$, $y=-2$; точка (-2, -2)
• при $x=-4$, $y=-1$; точка (-4, -1)

График функции $y_2 = 4 - x$ — это прямая. Для ее построения достаточно двух точек:

• при $x=0$, $y=4$; точка (0, 4)
• при $x=4$, $y=0$; точка (4, 0)

Построив оба графика в одной системе координат, мы увидим, что они имеют одну общую точку (касаются друг друга). Абсцисса этой точки и есть решение уравнения.

Точка пересечения (касания) имеет координаты (2, 2).

Следовательно, решением уравнения является $x = 2$.

Ответ: 2

2) Чтобы решить уравнение $x - 2 = \frac{3}{x}$ графически, построим в одной системе координат графики функций $y_1 = x - 2$ и $y_2 = \frac{3}{x}$.

График функции $y_1 = x - 2$ — это прямая. Найдем две точки для ее построения:

• при $x=0$, $y=-2$; точка (0, -2)
• при $x=2$, $y=0$; точка (2, 0)

График функции $y_2 = \frac{3}{x}$ — это гипербола. Так как коэффициент $k=3 > 0$, ее ветви расположены в I и III координатных четвертях. Найдем несколько точек для построения:

• при $x=1$, $y=3$; точка (1, 3)
• при $x=3$, $y=1$; точка (3, 1)
• при $x=-1$, $y=-3$; точка (-1, -3)
• при $x=-3$, $y=-1$; точка (-3, -1)

Построим графики. Они пересекаются в двух точках. Абсциссы этих точек являются решениями исходного уравнения.

Точки пересечения имеют координаты: (3, 1) и (-1, -3).

Следовательно, решениями уравнения являются $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$.

Ответ: -1; 3

3) Чтобы решить уравнение $x + 2 = -\frac{5}{x}$ графически, построим в одной системе координат графики функций $y_1 = x + 2$ и $y_2 = -\frac{5}{x}$.

График функции $y_1 = x + 2$ — это прямая. Найдем две точки для ее построения:

• при $x=0$, $y=2$; точка (0, 2)
• при $x=-2$, $y=0$; точка (-2, 0)

График функции $y_2 = -\frac{5}{x}$ — это гипербола. Так как коэффициент $k=-5 < 0$, ее ветви расположены во II и IV координатных четвертях. Найдем несколько точек для построения:

• при $x=1$, $y=-5$; точка (1, -5)
• при $x=5$, $y=-1$; точка (5, -1)
• при $x=-1$, $y=5$; точка (-1, 5)
• при $x=-5$, $y=1$; точка (-5, 1)

Построив оба графика, мы видим, что они не пересекаются. Это означает, что у уравнения нет действительных корней.

Проверим это алгебраически. Преобразуем уравнение (при $x \neq 0$):
$x(x + 2) = -5$
$x^2 + 2x + 5 = 0$
Найдем дискриминант квадратного уравнения: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = -16$.
Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней, что и показал графический метод.

Ответ: нет решений