Номер 333, страница 82 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 10. Функция y=k/x и её график. Упражнения - номер 333, страница 82.

Условие.

333. Решите графически систему уравнений:

1) $\begin{cases} xy = 4, \\ 4y = x; \end{cases}$ 2) $\begin{cases} x - y = 1, \\ xy = 2. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Для того чтобы решить систему уравнений графически, необходимо построить графики каждого уравнения в одной и той же системе координат и найти точки их пересечения.

Первое уравнение системы: $xy = 4$. Преобразуем его к виду функции $y(x)$, получим $y = \frac{4}{x}$. Это функция обратной пропорциональности, графиком которой является гипербола. Так как коэффициент $k=4$ положительный, ветви гиперболы будут располагаться в I и III координатных четвертях.

Составим таблицу нескольких точек для построения графика $y = \frac{4}{x}$:

• $x = 1, y = 4$
• $x = 2, y = 2$
• $x = 4, y = 1$
• $x = -1, y = -4$
• $x = -2, y = -2$
• $x = -4, y = -1$

Второе уравнение системы: $4y = x$. Преобразуем его к виду $y = \frac{1}{4}x$. Это линейная функция, графиком которой является прямая, проходящая через начало координат $(0,0)$.

Для построения прямой достаточно двух точек:

• $x = 0, y = 0$
• $x = 4, y = 1$

Построив оба графика в одной системе координат, мы увидим, что они пересекаются в двух точках. Координаты этих точек и являются решением системы.

Точки пересечения графиков: $(4, 1)$ и $(-4, -1)$.

Ответ: $(4, 1), (-4, -1)$.

2)

Решим вторую систему уравнений графическим методом.

Первое уравнение: $x - y = 1$. Выразим $y$ через $x$: $y = x - 1$. Это линейная функция, графиком которой является прямая.

Найдем координаты двух точек для построения этой прямой:

• $x = 0, y = -1$
• $x = 2, y = 1$

Второе уравнение: $xy = 2$. Выразим $y$: $y = \frac{2}{x}$. Это функция обратной пропорциональности, ее график — гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях ($k=2 > 0$).

Составим таблицу точек для построения графика $y = \frac{2}{x}$:

• $x = 1, y = 2$
• $x = 2, y = 1$
• $x = -1, y = -2$
• $x = -2, y = -1$

Построив графики прямой $y = x - 1$ и гиперболы $y = \frac{2}{x}$ в одной системе координат, найдем точки их пересечения.

Точки пересечения графиков: $(2, 1)$ и $(-1, -2)$.

Ответ: $(2, 1), (-1, -2)$.