Номер 339, страница 83 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 10. Функция y=k/x и её график. Упражнения - номер 339, страница 83.

Условие.

339. Постройте график функции $y = \frac{6}{|x|}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для построения графика функции $y = \frac{6}{|x|}$ необходимо раскрыть модуль в знаменателе. Область определения функции — все действительные числа, кроме $x=0$, то есть $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Согласно определению модуля, $|x|$ равен $x$ при $x > 0$ и равен $-x$ при $x < 0$. Таким образом, заданную функцию можно представить в виде кусочной функции:

$y = \begin{cases} \frac{6}{x}, & \text{если } x > 0 \\ \frac{6}{-x}, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Теперь построим график для каждого из двух случаев.

1. Построение для $x > 0$.
На промежутке $(0; +\infty)$ функция имеет вид $y = \frac{6}{x}$. Это стандартная обратная пропорциональность (гипербола), ветвь которой расположена в первой координатной четверти. Для построения этой ветви найдем координаты нескольких точек:
при $x=1$, $y=6$; (точка (1; 6))
при $x=2$, $y=3$; (точка (2; 3))
при $x=3$, $y=2$; (точка (3; 2))
при $x=6$, $y=1$; (точка (6; 1))

2. Построение для $x < 0$.
На промежутке $(-\infty; 0)$ функция имеет вид $y = \frac{6}{-x}$, что то же самое, что и $y = -\frac{6}{x}$. Это также гипербола, ветвь которой расположена во второй координатной четверти. Найдем координаты нескольких точек для этой ветви:
при $x=-1$, $y = \frac{6}{-(-1)} = 6$; (точка (-1; 6))
при $x=-2$, $y = \frac{6}{-(-2)} = 3$; (точка (-2; 3))
при $x=-3$, $y = \frac{6}{-(-3)} = 2$; (точка (-3; 2))
при $x=-6$, $y = \frac{6}{-(-6)} = 1$; (точка (-6; 1))

Также можно заметить, что исходная функция $y = \frac{6}{|x|}$ является четной, так как для любого $x$ из области определения выполняется равенство $y(-x) = \frac{6}{|-x|} = \frac{6}{|x|} = y(x)$. График четной функции симметричен относительно оси ординат (оси OY). Это подтверждает, что ветвь графика во второй четверти является зеркальным отражением ветви из первой четверти.

Соединяя полученные точки в каждой четверти плавными линиями, получаем итоговый график. Он состоит из двух ветвей, расположенных в первой и второй координатных четвертях, которые приближаются к осям координат, но не пересекают их. Оси OX и OY являются, соответственно, горизонтальной и вертикальной асимптотами графика.

Ответ: График функции $y = \frac{6}{|x|}$ состоит из двух ветвей гиперболы. Первая ветвь расположена в первой координатной четверти и является частью графика $y = \frac{6}{x}$ при $x>0$. Вторая ветвь расположена во второй координатной четверти и является частью графика $y = -\frac{6}{x}$ при $x<0$. График симметричен относительно оси ординат (OY). Асимптотами графика являются оси координат OX и OY.