Номер 345, страница 84 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 10. Функция y=k/x и её график. Глава 1. Рациональные выражения - номер 345, страница 84.

Условие.

345. Решите уравнение:

$\frac{3}{5x + 25} + \frac{1}{2x - 10} = \frac{5}{x^2 - 25}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения данного рационального уравнения необходимо сначала найти область допустимых значений (ОДЗ), затем привести все дроби к общему знаменателю и решить полученное уравнение.

1. Нахождение ОДЗ.

Знаменатели дробей не могут быть равны нулю. Разложим каждый знаменатель на множители:

$5x + 25 = 5(x + 5)$

$2x - 10 = 2(x - 5)$

$x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5)$ (по формуле разности квадратов)

Из этого следует, что:

$x + 5 \neq 0 \Rightarrow x \neq -5$

$x - 5 \neq 0 \Rightarrow x \neq 5$

Таким образом, область допустимых значений: $x$ – любое число, кроме $5$ и $-5$.

2. Приведение к общему знаменателю.

Исходное уравнение в разложенном виде:

$\frac{3}{5(x + 5)} + \frac{1}{2(x - 5)} = \frac{5}{(x - 5)(x + 5)}$

Наименьший общий знаменатель для всех дробей равен $10(x - 5)(x + 5)$. Умножим обе части уравнения на этот знаменатель, чтобы избавиться от дробей:

$10(x - 5)(x + 5) \cdot \frac{3}{5(x + 5)} + 10(x - 5)(x + 5) \cdot \frac{1}{2(x - 5)} = 10(x - 5)(x + 5) \cdot \frac{5}{(x - 5)(x + 5)}$

После сокращения получаем:

$2(x - 5) \cdot 3 + 5(x + 5) \cdot 1 = 10 \cdot 5$

3. Решение полученного уравнения.

Раскроем скобки и решим линейное уравнение:

$6(x - 5) + 5(x + 5) = 50$

$6x - 30 + 5x + 25 = 50$

Приведем подобные слагаемые:

$11x - 5 = 50$

$11x = 55$

$x = \frac{55}{11}$

$x = 5$

4. Проверка корня.

Полученный корень $x = 5$ необходимо проверить на соответствие ОДЗ. Согласно ОДЗ, $x \neq 5$. Так как найденное значение $x=5$ не входит в область допустимых значений, оно является посторонним корнем и не может быть решением уравнения.

Ответ: корней нет.