Номер 342, страница 83 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 10. Функция y=k/x и её график. Глава 1. Рациональные выражения - номер 342, страница 83.

Условие.

342. Постройте график функции:

1) $y = \frac{9x-18}{x^2-2x}$;

2) $y = \frac{5x^2-5}{x-x^3}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $y = \frac{9x - 18}{x^2 - 2x}$

Сначала найдем область определения функции (ОДЗ). Знаменатель дроби не должен равняться нулю:

$x^2 - 2x \neq 0$

$x(x - 2) \neq 0$

Отсюда следует, что $x \neq 0$ и $x \neq 2$.

Теперь упростим выражение для функции, разложив числитель и знаменатель на множители:

$y = \frac{9(x - 2)}{x(x - 2)}$

При условии, что $x \neq 2$, мы можем сократить дробь на $(x - 2)$. Получаем:

$y = \frac{9}{x}$

Графиком этой функции является гипербола. Ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях. Асимптоты графика — оси координат: $x = 0$ (ось Oy) и $y = 0$ (ось Ox).

Поскольку исходная функция не определена в точке $x = 2$, на графике функции $y = \frac{9}{x}$ будет выколотая точка. Найдем ее координаты, подставив $x = 2$ в упрощенную функцию:

$y = \frac{9}{2} = 4.5$

Таким образом, точка с координатами $(2; 4.5)$ не принадлежит графику исходной функции.

Для построения графика можно найти несколько точек, принадлежащих гиперболе $y = \frac{9}{x}$:

• при $x = 1$, $y = 9$
• при $x = 3$, $y = 3$
• при $x = 9$, $y = 1$
• при $x = -1$, $y = -9$
• при $x = -3$, $y = -3$
• при $x = -9$, $y = -1$

Ответ: Графиком функции $y = \frac{9x - 18}{x^2 - 2x}$ является гипербола $y = \frac{9}{x}$ с выколотой точкой $(2; 4.5)$.

2) $y = \frac{5x^2 - 5}{x - x^3}$

Найдем область определения функции (ОДЗ). Знаменатель не может быть равен нулю:

$x - x^3 \neq 0$

$x(1 - x^2) \neq 0$

$x(1 - x)(1 + x) \neq 0$

Следовательно, $x \neq 0$, $x \neq 1$ и $x \neq -1$.

Упростим выражение, разложив числитель и знаменатель на множители:

$y = \frac{5(x^2 - 1)}{x(1 - x^2)} = \frac{5(x^2 - 1)}{-x(x^2 - 1)}$

При условиях $x \neq 1$ и $x \neq -1$ (то есть $x^2 - 1 \neq 0$), можно сократить дробь на $(x^2 - 1)$:

$y = \frac{5}{-x} = -\frac{5}{x}$

Графиком этой функции является гипербола. Так как коэффициент перед дробью отрицательный, ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях. Асимптоты — оси координат: $x = 0$ (ось Oy) и $y = 0$ (ось Ox).

Исходная функция не определена в точках $x = 1$ и $x = -1$. Это означает, что на графике функции $y = -\frac{5}{x}$ будут две выколотые точки. Найдем их координаты:

При $x = 1$: $y = -\frac{5}{1} = -5$. Координаты первой выколотой точки: $(1; -5)$.

При $x = -1$: $y = -\frac{5}{-1} = 5$. Координаты второй выколотой точки: $(-1; 5)$.

Для построения графика можно найти несколько точек, принадлежащих гиперболе $y = -\frac{5}{x}$:

• при $x = 2.5$, $y = -2$
• при $x = 5$, $y = -1$
• при $x = -2.5$, $y = 2$
• при $x = -5$, $y = 1$

Ответ: Графиком функции $y = \frac{5x^2 - 5}{x - x^3}$ является гипербола $y = -\frac{5}{x}$ с выколотыми точками $(1; -5)$ и $(-1; 5)$.