Номер 343, страница 83 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 10. Функция y=k/x и её график. Глава 1. Рациональные выражения - номер 343, страница 83.

Условие.

343. Постройте график функции $y = \frac{10x^2 - 40}{x^3 - 4x}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для построения графика функции $y = \frac{10x^2 - 40}{x^3 - 4x}$ необходимо сначала найти ее область определения и упростить выражение.

1. Нахождение области определения функции (ОДЗ)

Область определения функции задается условием, что знаменатель дроби не должен быть равен нулю.

$x^3 - 4x \neq 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x^2 - 4) \neq 0$

Используя формулу разности квадратов, разложим выражение в скобках на множители:

$x(x-2)(x+2) \neq 0$

Произведение не равно нулю, если ни один из множителей не равен нулю. Следовательно, мы получаем три условия:

$x \neq 0$

$x \neq 2$

$x \neq -2$

Таким образом, область определения функции: $D(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; 0) \cup (0; 2) \cup (2; +\infty)$.

2. Упрощение выражения функции

Разложим на множители числитель дроби, вынеся общий множитель 10 за скобки и применив формулу разности квадратов:

$10x^2 - 40 = 10(x^2 - 4) = 10(x-2)(x+2)$

Теперь мы можем сократить дробь на общие множители $(x-2)$ и $(x+2)$, так как на области определения функции они не равны нулю:

$y = \frac{10(x-2)(x+2)}{x(x-2)(x+2)} = \frac{10}{x}$

Итак, на всей области определения исходная функция совпадает с функцией $y = \frac{10}{x}$.

3. Анализ и построение графика

Графиком функции $y = \frac{10}{x}$ является гипербола. Так как коэффициент $k=10 > 0$, ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях. Асимптотами графика являются оси координат: вертикальная асимптота $x=0$ и горизонтальная асимптота $y=0$.

Поскольку исходная функция не определена в точках $x=-2$ и $x=2$, на графике гиперболы будут две "выколотые" точки. Найдем их координаты, подставив значения $x$ в упрощенную функцию $y = \frac{10}{x}$:

• При $x = 2$, $y = \frac{10}{2} = 5$. Координаты первой выколотой точки: $(2; 5)$.
• При $x = -2$, $y = \frac{10}{-2} = -5$. Координаты второй выколотой точки: $(-2; -5)$.

Для более точного построения графика составим таблицу значений для функции $y = \frac{10}{x}$:

$x$	-10	-5	-2.5	-1	1	2.5	5	10
$y$	-1	-2	-4	-10	10	4	2	1

Построение графика заключается в следующем: строим гиперболу $y = \frac{10}{x}$ по точкам из таблицы, а затем отмечаем на ней точки $(2; 5)$ и $(-2; -5)$ пустыми кружками.

Ответ: Графиком функции $y = \frac{10x^2 - 40}{x^3 - 4x}$ является гипербола $y = \frac{10}{x}$ с выколотыми точками $(2; 5)$ и $(-2; -5)$.