Номер 349, страница 84 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 10. Функция y=k/x и её график. Глава 1. Рациональные выражения - номер 349, страница 84.

Условие.

349. Каждый из трёх учеников написал 100 разных слов. После этого слова, которые встретились не менее двух раз, вычеркнули. В результате у одного ученика осталось 45 слов, у второго – 68, а у третьего – 78. Докажите, что по крайней мере одно слово записали все трое.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения задачи воспользуемся методами теории множеств и докажем утверждение, используя свойства чётности чисел.

Обозначим множества слов, написанных тремя учениками, как $A$, $B$ и $C$. По условию, каждый ученик написал по 100 слов, следовательно, мощности (количества элементов) этих множеств равны:

$|A| = 100$, $|B| = 100$, $|C| = 100$.

Слова, которые встретились не менее двух раз, были вычеркнуты. Это означает, что для каждого ученика были вычеркнуты слова, которые он написал и которые также написал хотя бы один из двух других учеников. Оставшиеся слова — это те, которые являются уникальными для каждого ученика.

По условию, у одного ученика осталось 45 слов, у второго — 68, а у третьего — 78. Следовательно, количество вычеркнутых (неуникальных) слов для каждого ученика составляет:

• У первого ученика: $100 - 45 = 55$ слов.
• У второго ученика: $100 - 68 = 32$ слова.
• У третьего ученика: $100 - 78 = 22$ слова.

Введем следующие обозначения для количества слов в различных пересечениях множеств:

• $n_{ab}$ — количество слов, написанных только первым и вторым учениками.
• $n_{ac}$ — количество слов, написанных только первым и третьим учениками.
• $n_{bc}$ — количество слов, написанных только вторым и третьим учениками.
• $n_{abc}$ — количество слов, написанных всеми тремя учениками.

Все эти величины являются неотрицательными целыми числами. Нам нужно доказать, что $n_{abc} \ge 1$.

Количество вычеркнутых слов из списка первого ученика — это слова, которые есть в списке второго или третьего ученика. Таким образом, это сумма слов, которые есть у первого и второго, у первого и третьего, и у всех троих:

$n_{ab} + n_{ac} + n_{abc} = 55$ (1)

Аналогично для второго и третьего учеников:

$n_{ab} + n_{bc} + n_{abc} = 32$ (2)

$n_{ac} + n_{bc} + n_{abc} = 22$ (3)

Теперь сложим все три уравнения:

$(n_{ab} + n_{ac} + n_{abc}) + (n_{ab} + n_{bc} + n_{abc}) + (n_{ac} + n_{bc} + n_{abc}) = 55 + 32 + 22$

Сгруппировав одинаковые слагаемые, получим:

$2n_{ab} + 2n_{ac} + 2n_{bc} + 3n_{abc} = 109$

Вынесем общий множитель 2:

$2(n_{ab} + n_{ac} + n_{bc}) + 3n_{abc} = 109$

Рассмотрим это уравнение с точки зрения чётности. Так как $n_{ab}$, $n_{ac}$ и $n_{bc}$ — целые числа, то их сумма также является целым числом. Тогда выражение $2(n_{ab} + n_{ac} + n_{bc})$ всегда является чётным числом. Число 109 в правой части уравнения является нечётным.

Уравнение можно представить в виде:

(Чётное число) + $3n_{abc}$ = (Нечётное число)

Чтобы сумма чётного числа и некоторого числа была нечётной, это второе число ($3n_{abc}$) должно быть нечётным. Произведение $3 \times n_{abc}$ будет нечётным только в том случае, если оба множителя нечётные. Так как число 3 нечётное, то и $n_{abc}$ должно быть нечётным числом.

По определению, $n_{abc}$ — это количество слов, и оно должно быть неотрицательным целым числом. Ноль является чётным числом, поэтому $n_{abc}$ не может быть равно нулю. Следовательно, $n_{abc}$ должно быть положительным нечётным числом. Самое маленькое такое число — это 1.

Таким образом, $n_{abc} \ge 1$, что и доказывает, что по крайней мере одно слово было записано всеми тремя учениками.

Ответ: Утверждение доказано. Из полученных уравнений следует, что количество слов, написанных всеми тремя учениками ($n_{abc}$), должно быть нечётным числом. Поскольку это количество не может быть отрицательным, оно должно быть не меньше 1. Следовательно, по крайней мере одно слово записали все трое.