Номер 344, страница 83 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение, Вентана-граф
Год издания: 2018 - 2022
Цвет обложки: розовый, фиолетовый, голубой с папками
ISBN: 978-5-360-12162-6
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 8 классе
Упражнения. Параграф 10. Функция y=k/x и её график. Глава 1. Рациональные выражения - номер 344, страница 83.
№344 (с. 83)
Условие. №344 (с. 83)
скриншот условия

344. Докажите, что при всех допустимых значениях переменных, содержащихся в выражении, его значение не зависит от значений $a$ и $b$:
$\frac{a^2 - b^2}{a+3b} \cdot \left(\frac{a+b}{a^2 - 2ab + b^2} + \frac{b}{a^2 - b^2}\right) - \frac{b}{a-b}$
Решение 1. №344 (с. 83)

Решение 2. №344 (с. 83)

Решение 3. №344 (с. 83)

Решение 5. №344 (с. 83)

Решение 6. №344 (с. 83)

Решение 7. №344 (с. 83)

Решение 8. №344 (с. 83)
Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменных $a$ и $b$ для всех допустимых значений, необходимо упростить данное выражение. Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ), при которых знаменатели дробей не равны нулю.
1. $a+3b \neq 0 \implies a \neq -3b$
2. $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2 \neq 0 \implies a \neq b$
3. $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \neq 0 \implies a \neq b$ и $a \neq -b$
4. $a - b \neq 0 \implies a \neq b$
Итак, ОДЗ: $a \neq b$, $a \neq -b$, $a \neq -3b$.
Теперь упростим выражение по действиям.
Действие 1: Сложение в скобках.
$\frac{a+b}{a^2 - 2ab + b^2} + \frac{b}{a^2 - b^2}$
Разложим знаменатели на множители, используя формулы сокращенного умножения: квадрат разности и разность квадратов.
$\frac{a+b}{(a-b)^2} + \frac{b}{(a-b)(a+b)}$
Приведем дроби к общему знаменателю $(a-b)^2(a+b)$.
$\frac{(a+b)(a+b)}{(a-b)^2(a+b)} + \frac{b(a-b)}{(a-b)^2(a+b)} = \frac{(a+b)^2 + b(a-b)}{(a-b)^2(a+b)}$
Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые.
$\frac{a^2 + 2ab + b^2 + ab - b^2}{(a-b)^2(a+b)} = \frac{a^2 + 3ab}{(a-b)^2(a+b)}$
Вынесем общий множитель $a$ в числителе.
$\frac{a(a+3b)}{(a-b)^2(a+b)}$
Действие 2: Умножение.
$\frac{a^2 - b^2}{a + 3b} \cdot \frac{a(a+3b)}{(a-b)^2(a+b)}$
Разложим числитель первой дроби $a^2 - b^2$ на множители.
$\frac{(a-b)(a+b)}{a + 3b} \cdot \frac{a(a+3b)}{(a-b)^2(a+b)}$
Сократим общие множители $(a+3b)$, $(a+b)$ и $(a-b)$.
$\frac{\cancel{(a-b)}\cancel{(a+b)}}{\cancel{a + 3b}} \cdot \frac{a(\cancel{a+3b})}{(a-b)^{\cancel{2}}\cancel{(a+b)}} = \frac{a}{a-b}$
Действие 3: Вычитание.
$\frac{a}{a-b} - \frac{b}{a-b}$
Так как дроби имеют одинаковый знаменатель, вычитаем их числители.
$\frac{a-b}{a-b} = 1$
В результате упрощения выражения мы получили число 1. Так как итоговое значение является константой и не зависит от переменных $a$ и $b$, утверждение доказано для всех допустимых значений.
Ответ: 1
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 344 расположенного на странице 83 к учебнику 2018 - 2022 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №344 (с. 83), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), учебного пособия издательства Просвещение, Вентана-граф.