Номер 344, страница 83 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 10. Функция y=k/x и её график. Упражнения - номер 344, страница 83.

Условие.

344. Докажите, что при всех допустимых значениях переменных, содержащихся в выражении, его значение не зависит от значений $a$ и $b$:

$\frac{a^2 - b^2}{a+3b} \cdot \left(\frac{a+b}{a^2 - 2ab + b^2} + \frac{b}{a^2 - b^2}\right) - \frac{b}{a-b}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменных $a$ и $b$ для всех допустимых значений, необходимо упростить данное выражение. Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ), при которых знаменатели дробей не равны нулю.

1. $a+3b \neq 0 \implies a \neq -3b$

2. $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2 \neq 0 \implies a \neq b$

3. $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \neq 0 \implies a \neq b$ и $a \neq -b$

4. $a - b \neq 0 \implies a \neq b$

Итак, ОДЗ: $a \neq b$, $a \neq -b$, $a \neq -3b$.

Теперь упростим выражение по действиям.

Действие 1: Сложение в скобках.

$\frac{a+b}{a^2 - 2ab + b^2} + \frac{b}{a^2 - b^2}$

Разложим знаменатели на множители, используя формулы сокращенного умножения: квадрат разности и разность квадратов.

$\frac{a+b}{(a-b)^2} + \frac{b}{(a-b)(a+b)}$

Приведем дроби к общему знаменателю $(a-b)^2(a+b)$.

$\frac{(a+b)(a+b)}{(a-b)^2(a+b)} + \frac{b(a-b)}{(a-b)^2(a+b)} = \frac{(a+b)^2 + b(a-b)}{(a-b)^2(a+b)}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые.

$\frac{a^2 + 2ab + b^2 + ab - b^2}{(a-b)^2(a+b)} = \frac{a^2 + 3ab}{(a-b)^2(a+b)}$

Вынесем общий множитель $a$ в числителе.

$\frac{a(a+3b)}{(a-b)^2(a+b)}$

Действие 2: Умножение.

$\frac{a^2 - b^2}{a + 3b} \cdot \frac{a(a+3b)}{(a-b)^2(a+b)}$

Разложим числитель первой дроби $a^2 - b^2$ на множители.

$\frac{(a-b)(a+b)}{a + 3b} \cdot \frac{a(a+3b)}{(a-b)^2(a+b)}$

Сократим общие множители $(a+3b)$, $(a+b)$ и $(a-b)$.

$\frac{\cancel{(a-b)}\cancel{(a+b)}}{\cancel{a + 3b}} \cdot \frac{a(\cancel{a+3b})}{(a-b)^{\cancel{2}}\cancel{(a+b)}} = \frac{a}{a-b}$

Действие 3: Вычитание.

$\frac{a}{a-b} - \frac{b}{a-b}$

Так как дроби имеют одинаковый знаменатель, вычитаем их числители.

$\frac{a-b}{a-b} = 1$

В результате упрощения выражения мы получили число 1. Так как итоговое значение является константой и не зависит от переменных $a$ и $b$, утверждение доказано для всех допустимых значений.

Ответ: 1