Номер 341, страница 83 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 10. Функция y=k/x и её график. Глава 1. Рациональные выражения - номер 341, страница 83.

Условие.

341. Постройте график функции:

$y = \begin{cases} -\frac{4}{x}, & \text{если } x < -2, \\ 2, & \text{если } -2 \le x \le 2, \\ \frac{4}{x}, & \text{если } x > 2. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для построения графика данной кусочной функции необходимо рассмотреть ее на каждом из трех заданных интервалов.

если $x < -2$

На этом промежутке функция задана формулой $y = -\frac{4}{x}$. Графиком является ветвь гиперболы, расположенная во второй координатной четверти. Для ее построения найдем координаты нескольких точек: например, при $x = -4$ получаем $y = 1$, а при $x = -8$ получаем $y = 0.5$. На границе интервала, в точке $x = -2$, значение функции было бы $y = -\frac{4}{-2} = 2$. Так как неравенство строгое ($x < -2$), точка $(-2, 2)$ не принадлежит этой части графика, и на чертеже ее отмечают выколотой (пустым кружком).

если $-2 \le x \le 2$

На этом отрезке функция постоянна: $y = 2$. Графиком является горизонтальный отрезок прямой, соединяющий точки с координатами $(-2, 2)$ и $(2, 2)$. Поскольку неравенство нестрогое, обе граничные точки принадлежат графику и отмечаются закрашенными (сплошными) точками.

если $x > 2$

На этом промежутке функция задана формулой $y = \frac{4}{x}$. Графиком является ветвь гиперболы, расположенная в первой координатной четверти. Для ее построения найдем координаты нескольких точек: например, при $x = 4$ получаем $y = 1$, а при $x = 8$ получаем $y = 0.5$. На границе интервала, в точке $x = 2$, значение функции было бы $y = \frac{4}{2} = 2$. Так как неравенство строгое ($x > 2$), точка $(2, 2)$ также является выколотой.

Для получения итогового графика объединим все три части в одной системе координат. В точке $x=-2$ выколотая точка $(-2, 2)$ от первой части графика "заполняется" закрашенной точкой от второй части. Аналогично, в точке $x=2$ закрашенная точка от второй части "заполняет" выколотую точку от третьей. Таким образом, график функции не имеет разрывов и является непрерывной линией.

Ответ: График функции представляет собой непрерывную линию, состоящую из трех частей: ветви гиперболы $y = -4/x$ на интервале $(-\infty; -2)$, отрезка прямой $y=2$ на отрезке $[-2; 2]$ и ветви гиперболы $y=4/x$ на интервале $(2; +\infty)$. Все три части плавно соединяются в точках $(-2, 2)$ и $(2, 2)$.