Номер 335, страница 83 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 10. Функция y=k/x и её график. Глава 1. Рациональные выражения - номер 335, страница 83.

Условие.

335. Определите графически количество решений системы уравнений:

1) $ \begin{cases} xy = -1, \\ x + 3y = 0; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} xy = -1, \\ x - 3y = 0; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} xy = 6, \\ 3x - 2y = 6. \end{cases} $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для того чтобы графически определить количество решений системы, необходимо построить графики функций, соответствующих каждому уравнению, и найти количество их точек пересечения.
Первое уравнение системы $xy = -1$ можно представить в виде функции $y = -1/x$. Графиком этой функции является гипербола, ветви которой расположены во II и IV координатных четвертях. Асимптотами являются оси координат.
Второе уравнение $x + 3y = 0$ можно представить в виде $y = -x/3$. Графиком этой функции является прямая, проходящая через начало координат (0,0) с угловым коэффициентом $k=-1/3$. Эта прямая также расположена во II и IV координатных четвертях.
Так как прямая проходит через начало координат, а ветви гиперболы находятся в тех же четвертях и неограниченно приближаются к осям координат, прямая пересечет каждую из двух ветвей гиперболы. Таким образом, графики имеют две точки пересечения, что означает, что система имеет два решения.

Ответ: 2 решения.

2) Построим графики уравнений данной системы.
Первое уравнение $xy = -1$ задает гиперболу $y = -1/x$ с ветвями во II и IV координатных четвертях.
Второе уравнение $x - 3y = 0$ задает прямую $y = x/3$. Эта прямая проходит через начало координат и расположена в I и III координатных четвертях.
График гиперболы целиком лежит во II и IV четвертях, а график прямой (за исключением точки (0,0), которая не принадлежит гиперболе) — в I и III четвертях. Поскольку графики функций находятся в разных четвертях, они не имеют общих точек. Следовательно, система не имеет решений.

Ответ: 0 решений.

3) Построим графики уравнений системы.
Первое уравнение $xy = 6$ задает гиперболу $y = 6/x$, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях.
Второе уравнение $3x - 2y = 6$ является линейным. Выразим $y$ через $x$: $2y = 3x - 6$, откуда $y = \frac{3}{2}x - 3$. Это прямая, которая пересекает ось OY в точке (0, -3) и ось OX в точке (2, 0). Прямая проходит через I, III и IV координатные четверти.
Поскольку и прямая, и гипербола имеют части в I и III четвертях, их графики могут пересекаться.
В I четверти ($x>0$): прямая $y = \frac{3}{2}x - 3$ возрастает, а гипербола $y=6/x$ убывает. Это гарантирует, что они пересекутся ровно в одной точке в этой четверти.
В III четверти ($x<0$): прямая $y = \frac{3}{2}x - 3$ также возрастает. При $x \to -\infty$ прямая уходит в $-\infty$, а гипербола стремится к 0. При $x \to 0^-$ прямая стремится к -3, а гипербола уходит в $-\infty$. Это гарантирует наличие одной точки пересечения и в этой четверти.
Таким образом, графики имеют две точки пересечения, следовательно, система имеет два решения.

Ответ: 2 решения.