Номер 340, страница 83 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 10. Функция y=k/x и её график. Глава 1. Рациональные выражения - номер 340, страница 83.

Условие.

340. Постройте график функции:

1) $y = \begin{cases} -\frac{2}{x}, & \text{если } x \le -1 \\ x+3, & \text{если } x > -1 \end{cases}$

2) $y = \begin{cases} -2x+10, & \text{если } x \le 2 \\ \frac{12}{x}, & \text{если } 2 < x < 4 \\ 3, & \text{если } x \ge 4 \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Функция задана двумя аналитическими выражениями на разных промежутках. Для построения графика рассмотрим каждую часть отдельно.

а) На промежутке $x \le -1$ функция имеет вид $y = -\frac{2}{x}$. Графиком является часть гиперболы, ветви которой расположены во II и IV координатных четвертях. Нас интересует только часть графика во II четверти, где $x \le -1$.

Вычислим координаты нескольких точек для этой части графика:

• Если $x = -1$, то $y = -\frac{2}{-1} = 2$. Получаем точку $(-1; 2)$. Так как неравенство нестрогое ($x \le -1$), точка будет закрашенной.
• Если $x = -2$, то $y = -\frac{2}{-2} = 1$. Получаем точку $(-2; 1)$.
• Если $x = -4$, то $y = -\frac{2}{-4} = 0.5$. Получаем точку $(-4; 0.5)$.

б) На промежутке $x > -1$ функция имеет вид $y = x+3$. Это линейная функция, её график — прямая. Так как область определения — луч, то и график будет лучом.

Найдём координаты двух точек для построения луча:

• Найдём граничную точку. При $x = -1$, $y = -1 + 3 = 2$. Получаем точку $(-1; 2)$. Так как неравенство строгое ($x > -1$), точка будет "выколотой".
• Возьмём ещё одну точку, например, $x=0$, тогда $y = 0 + 3 = 3$. Получаем точку $(0; 3)$.

в) Совместим обе части на одной координатной плоскости. Первая часть графика (гипербола) заканчивается в точке $(-1; 2)$, и эта точка принадлежит графику. Вторая часть (луч) начинается в этой же точке $(-1; 2)$, но сама точка лучу не принадлежит. Поскольку закрашенная точка "закрывает" выколотую, график функции является непрерывным.

Ответ: График функции построен. Он состоит из части гиперболы $y = -2/x$ на луче $(-\infty; -1]$ и луча $y = x+3$ на интервале $(-1; +\infty)$, которые соединяются в точке $(-1; 2)$.

---

2)

Функция задана тремя аналитическими выражениями на разных промежутках. Построим график для каждого промежутка.

а) На промежутке $x \le 2$ функция имеет вид $y = -2x+10$. Это линейная функция, её график — луч.

Найдём координаты двух точек для построения луча:

• Граничная точка: при $x = 2$, $y = -2(2) + 10 = 6$. Точка $(2; 6)$ закрашенная, так как $x \le 2$.
• Дополнительная точка: при $x = 0$, $y = -2(0) + 10 = 10$. Точка $(0; 10)$.

б) На интервале $2 < x < 4$ функция имеет вид $y = \frac{12}{x}$. Это часть гиперболы, расположенная в I координатной четверти.

Вычислим координаты точек на границах интервала и одной промежуточной точки:

• При $x=2$, $y = \frac{12}{2} = 6$. Точка $(2; 6)$ выколотая, так как $x > 2$.
• При $x=4$, $y = \frac{12}{4} = 3$. Точка $(4; 3)$ выколотая, так как $x < 4$.
• При $x=3$, $y = \frac{12}{3} = 4$. Точка $(3; 4)$.

в) На промежутке $x \ge 4$ функция имеет вид $y = 3$. Это горизонтальный луч.

Найдём начальную точку луча:

• При $x=4$, $y=3$. Точка $(4; 3)$ закрашенная, так как $x \ge 4$.

г) Совместим все три части на одной координатной плоскости. Первая часть (луч) заканчивается в закрашенной точке $(2; 6)$. Вторая часть (гипербола) начинается в выколотой точке $(2; 6)$ и заканчивается в выколотой точке $(4; 3)$. Третья часть (горизонтальный луч) начинается в закрашенной точке $(4; 3)$. В точках $x=2$ и $x=4$ значения функций на границах совпадают. Закрашенные точки "закрывают" выколотые, поэтому график функции является непрерывной линией.

Ответ: График функции представляет собой непрерывную линию, состоящую из луча $y = -2x+10$ на $(-\infty; 2]$, участка гиперболы $y = 12/x$ на $(2; 4)$ и горизонтального луча $y=3$ на $[4; +\infty)$.