Номер 347, страница 84 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 10. Функция y=k/x и её график. Упражнения - номер 347, страница 84.

Условие.

347. (Задача Сунь-Цзы¹.) Двое мужчин получили монеты, которые они должны были разделить между собой так, что если бы к монетам, которые получил первый из них, прибавить половину монет второго, или к монетам, которые получил второй, прибавить $\frac{2}{3}$ монет первого, то в обоих случаях было бы 48 монет. Сколько монет получил каждый из мужчин?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения этой задачи введем переменные. Пусть $x$ — это количество монет, которое получил первый мужчина, а $y$ — количество монет, которое получил второй мужчина.

На основе условий задачи можно составить систему из двух уравнений.

Первое условие гласит, что если к монетам первого мужчины ($x$) прибавить половину монет второго ($\frac{1}{2}y$), получится 48. Запишем это в виде уравнения:
$x + \frac{1}{2}y = 48$

Второе условие гласит, что если к монетам второго мужчины ($y$) прибавить две трети монет первого ($\frac{2}{3}x$), то также получится 48. Запишем второе уравнение:
$y + \frac{2}{3}x = 48$

Таким образом, мы получаем следующую систему уравнений: $$ \begin{cases} x + \frac{1}{2}y = 48 \\ \frac{2}{3}x + y = 48 \end{cases} $$

Для удобства решения избавимся от дробей. Умножим обе части первого уравнения на 2, а обе части второго уравнения — на 3: $$ \begin{cases} 2(x + \frac{1}{2}y) = 2 \cdot 48 \\ 3(\frac{2}{3}x + y) = 3 \cdot 48 \end{cases} $$ После умножения система примет вид: $$ \begin{cases} 2x + y = 96 \\ 2x + 3y = 144 \end{cases} $$

Теперь решим полученную систему методом вычитания. Вычтем первое уравнение из второго:
$(2x + 3y) - (2x + y) = 144 - 96$
$2y = 48$
$y = \frac{48}{2}$
$y = 24$

Мы нашли, что второй мужчина получил 24 монеты. Теперь, чтобы найти количество монет у первого мужчины, подставим найденное значение $y$ в первое упрощенное уравнение ($2x + y = 96$):
$2x + 24 = 96$
$2x = 96 - 24$
$2x = 72$
$x = \frac{72}{2}$
$x = 36$

Итак, первый мужчина получил 36 монет, а второй — 24 монеты.
Проверим правильность решения, подставив значения в исходные условия:
1) $36 + \frac{1}{2} \cdot 24 = 36 + 12 = 48$. Верно.
2) $24 + \frac{2}{3} \cdot 36 = 24 + 2 \cdot 12 = 24 + 24 = 48$. Верно.

Ответ: первый мужчина получил 36 монет, а второй — 24 монеты.