Номер 3, страница 85 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Задание №3 «Проверь себя» в тестовой форме. Глава 1. Рациональные выражения - номер 3, страница 85.

Условие.

3. Какое из данных равенств верно?

А) $10^{-3} = -1000$

Б) $(-1 \frac{1}{3})^{-2} = -\frac{9}{16}$

В) $(-2)^{-3} = -\frac{1}{8}$

Г) $\frac{1}{7^{-2}} = -49$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 8.

Для того чтобы определить, какое из равенств верное, необходимо проверить каждое из них по отдельности, используя свойства степени.

А) $10^{-3} = -1000$
По определению степени с отрицательным целым показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ для любого $a \neq 0$. Применим это правило к левой части равенства:
$10^{-3} = \frac{1}{10^3} = \frac{1}{10 \cdot 10 \cdot 10} = \frac{1}{1000}$.
Сравним полученный результат с правой частью исходного равенства: $\frac{1}{1000} \neq -1000$.
Следовательно, равенство неверно.
Ответ: неверно.

Б) $( -1\frac{1}{3} )^{-2} = -\frac{9}{16}$
Сначала представим смешанное число $-1\frac{1}{3}$ в виде неправильной дроби:
$-1\frac{1}{3} = -(\frac{1 \cdot 3 + 1}{3}) = -\frac{4}{3}$.
Теперь вычислим значение выражения $(-\frac{4}{3})^{-2}$. Используя свойство $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$, получаем:
$(-\frac{4}{3})^{-2} = (-\frac{3}{4})^{2}$.
Возведение отрицательного числа в четную степень (в данном случае в квадрат) дает положительный результат:
$(-\frac{3}{4})^{2} = \frac{(-3)^2}{4^2} = \frac{9}{16}$.
Сравним полученный результат с правой частью исходного равенства: $\frac{9}{16} \neq -\frac{9}{16}$.
Следовательно, равенство неверно.
Ответ: неверно.

В) $(-2)^{-3} = -\frac{1}{8}$
Используем определение степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:
$(-2)^{-3} = \frac{1}{(-2)^3}$.
Теперь вычислим знаменатель. Возведение отрицательного числа в нечетную степень (в данном случае в куб) дает отрицательный результат:
$(-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -8$.
Подставим результат в дробь: $\frac{1}{-8} = -\frac{1}{8}$.
Сравним полученный результат с правой частью исходного равенства: $-\frac{1}{8} = -\frac{1}{8}$.
Следовательно, равенство верно.
Ответ: верно.

Г) $\frac{1}{7^{-2}} = -49$
Используем свойство степени $\frac{1}{a^{-n}} = a^n$:
$\frac{1}{7^{-2}} = 7^2$.
Вычислим значение $7^2$:
$7^2 = 7 \cdot 7 = 49$.
Сравним полученный результат с правой частью исходного равенства: $49 \neq -49$.
Следовательно, равенство неверно.
Ответ: неверно.

Таким образом, единственное верное равенство из предложенных — это равенство В.