Страница 85 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Решите уравнение $\frac{x^2 - 100}{x - 10} = 0.$

А) -10; 10

Б) 10

В) -10

Г) корней нет

1. Данное уравнение представляет собой дробь, равную нулю. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель при этом отличен от нуля. Таким образом, мы должны решить систему, состоящую из уравнения и неравенства:

1) Числитель равен нулю: $x^2 - 100 = 0$

2) Знаменатель не равен нулю: $x - 10 \neq 0$

Сначала решим уравнение $x^2 - 100 = 0$. Это формула разности квадратов, которую можно разложить на множители:

$(x - 10)(x + 10) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два потенциальных корня:

$x - 10 = 0 \implies x_1 = 10$

$x + 10 = 0 \implies x_2 = -10$

Теперь рассмотрим второе условие, которое является областью допустимых значений (ОДЗ) для нашего уравнения: $x - 10 \neq 0$, из чего следует, что $x \neq 10$.

Сравним найденные корни с ОДЗ. Корень $x_1 = 10$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при этом значении знаменатель обращается в ноль, что недопустимо. Следовательно, $x = 10$ является посторонним корнем.

Корень $x_2 = -10$ удовлетворяет ОДЗ, так как $-10 \neq 10$. Это и есть единственное решение уравнения.

Ответ: -10

2. Решите уравнение $\frac{x-10}{x^2-100} = 0.$

А) -10; 10

Б) 10

В) -10

Г) корней нет

Для решения уравнения $\frac{x-10}{x^2 - 100} = 0$ необходимо найти значения переменной $x$, при которых числитель дроби равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю.

Это условие можно записать в виде системы:

$\begin{cases} x - 10 = 0 \\ x^2 - 100 \neq 0 \end{cases}$

1. Решим первое уравнение системы:

$x - 10 = 0$

$x = 10$

Таким образом, $x = 10$ является единственным потенциальным корнем уравнения.

2. Проверим, удовлетворяет ли найденное значение второму условию (области допустимых значений):

Подставим $x = 10$ в выражение знаменателя:

$x^2 - 100 = 10^2 - 100 = 100 - 100 = 0$

При $x = 10$ знаменатель обращается в ноль, что недопустимо. Следовательно, значение $x = 10$ не является корнем данного уравнения (является посторонним корнем).

Так как единственный возможный корень не удовлетворяет области допустимых значений, уравнение не имеет решений.

Ответ: Г) корней нет

3. Какое из данных равенств верно?

А) $10^{-3} = -1000$

Б) $(-1 \frac{1}{3})^{-2} = -\frac{9}{16}$

В) $(-2)^{-3} = -\frac{1}{8}$

Г) $\frac{1}{7^{-2}} = -49$

Для того чтобы определить, какое из равенств верное, необходимо проверить каждое из них по отдельности, используя свойства степени.

А) $10^{-3} = -1000$
По определению степени с отрицательным целым показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ для любого $a \neq 0$. Применим это правило к левой части равенства:
$10^{-3} = \frac{1}{10^3} = \frac{1}{10 \cdot 10 \cdot 10} = \frac{1}{1000}$.
Сравним полученный результат с правой частью исходного равенства: $\frac{1}{1000} \neq -1000$.
Следовательно, равенство неверно.
Ответ: неверно.

Б) $( -1\frac{1}{3} )^{-2} = -\frac{9}{16}$
Сначала представим смешанное число $-1\frac{1}{3}$ в виде неправильной дроби:
$-1\frac{1}{3} = -(\frac{1 \cdot 3 + 1}{3}) = -\frac{4}{3}$.
Теперь вычислим значение выражения $(-\frac{4}{3})^{-2}$. Используя свойство $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$, получаем:
$(-\frac{4}{3})^{-2} = (-\frac{3}{4})^{2}$.
Возведение отрицательного числа в четную степень (в данном случае в квадрат) дает положительный результат:
$(-\frac{3}{4})^{2} = \frac{(-3)^2}{4^2} = \frac{9}{16}$.
Сравним полученный результат с правой частью исходного равенства: $\frac{9}{16} \neq -\frac{9}{16}$.
Следовательно, равенство неверно.
Ответ: неверно.

В) $(-2)^{-3} = -\frac{1}{8}$
Используем определение степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:
$(-2)^{-3} = \frac{1}{(-2)^3}$.
Теперь вычислим знаменатель. Возведение отрицательного числа в нечетную степень (в данном случае в куб) дает отрицательный результат:
$(-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -8$.
Подставим результат в дробь: $\frac{1}{-8} = -\frac{1}{8}$.
Сравним полученный результат с правой частью исходного равенства: $-\frac{1}{8} = -\frac{1}{8}$.
Следовательно, равенство верно.
Ответ: верно.

Г) $\frac{1}{7^{-2}} = -49$
Используем свойство степени $\frac{1}{a^{-n}} = a^n$:
$\frac{1}{7^{-2}} = 7^2$.
Вычислим значение $7^2$:
$7^2 = 7 \cdot 7 = 49$.
Сравним полученный результат с правой частью исходного равенства: $49 \neq -49$.
Следовательно, равенство неверно.
Ответ: неверно.

Таким образом, единственное верное равенство из предложенных — это равенство В.

4. Как записывают в стандартном виде число 42 000?

А) $4,2 \cdot 10^3$

Б) $4,2 \cdot 10^4$

В) $0,42 \cdot 10^5$

Г) $42 \cdot 10^3$

Стандартный вид числа — это его запись в виде $a \cdot 10^n$, где мантисса $a$ должна удовлетворять неравенству $1 \le a < 10$, а $n$ — это целое число, называемое порядком числа.

Чтобы представить число 42 000 в стандартном виде, необходимо выполнить следующие действия:

1. Преобразовать число 42 000 в число от 1 (включительно) до 10 (не включительно). Для этого нужно переместить десятичную запятую так, чтобы она оказалась после первой значащей цифры. В числе 42 000 первая значащая цифра — это 4. Поставив запятую после нее, мы получим мантиссу $a = 4,2$. Эта мантисса удовлетворяет условию $1 \le 4,2 < 10$.

2. Определить порядок $n$. Исходная позиция десятичной запятой в числе 42 000 — это конец числа (42 000,0). Чтобы получить 4,2, мы сдвинули запятую на 4 разряда влево. Так как сдвиг был влево, порядок будет положительным. Следовательно, порядок $n = 4$.

Таким образом, число 42 000 в стандартном виде записывается как $4,2 \cdot 10^4$.

Теперь сравним полученный результат с предложенными вариантами:

А) $4,2 \cdot 10^8$. Это равно $4,2 \cdot 100\,000\,000 = 420\,000\,000$. Неверно.

Б) $4,2 \cdot 10^4$. Это равно $4,2 \cdot 10\,000 = 42\,000$. Этот вариант полностью соответствует стандартной записи числа 42 000.

В) $0,42 \cdot 10^5$. Хотя $0,42 \cdot 100\,000 = 42\,000$, эта запись не является стандартной, так как мантисса $a = 0,42$ меньше 1, что нарушает условие $1 \le a < 10$.

Г) $42 \cdot 10^3$. Хотя $42 \cdot 1\,000 = 42\,000$, эта запись также не является стандартной, так как мантисса $a = 42$ больше или равна 10, что нарушает условие $1 \le a < 10$.

Следовательно, правильный ответ — Б.

Ответ: Б) $4,2 \cdot 10^4$

5. Как записывают в виде десятичной дроби число $6,3 \cdot 10^{-3}$?

А) 0,63

Б) 0,063

В) 0,0063

Г) 0,00063

Чтобы записать число $6,3 \cdot 10^{-3}$, представленное в стандартном виде, в виде десятичной дроби, нужно выполнить умножение.

Множитель $10^{-3}$ представляет собой степень с отрицательным показателем. По определению степени с отрицательным целым показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

Таким образом, мы можем рассчитать значение $10^{-3}$:

$10^{-3} = \frac{1}{10^3} = \frac{1}{1000} = 0,001$

Теперь подставим это значение в исходное выражение:

$6,3 \cdot 10^{-3} = 6,3 \cdot 0,001 = 0,0063$

Другой способ заключается в том, что умножение на $10^{-3}$ эквивалентно сдвигу десятичной запятой на 3 знака влево. Для числа 6,3 выполним эту операцию, добавляя нули слева по мере необходимости:

• Исходное число: $6,3$
• Сдвиг на 1 позицию влево: $0,63$
• Сдвиг на 2 позиции влево: $0,063$
• Сдвиг на 3 позиции влево: $0,0063$

Оба способа приводят к одному и тому же результату. Сравнивая его с предложенными вариантами, находим, что правильный ответ находится под буквой В).

Ответ: В) 0,0063

6. Представьте число $\frac{1}{25}$ в виде степени с основанием 5.

А) $5^{-2}$

Б) $5^{2}$

В) $5^{-3}$

Г) $5^{3}$

Чтобы представить число $\frac{1}{25}$ в виде степени с основанием 5, необходимо выполнить несколько последовательных шагов.

1. Сначала представим знаменатель дроби, то есть число 25, в виде степени с основанием 5. Поскольку $5 \times 5 = 25$, мы можем записать:

$25 = 5^2$

2. Теперь подставим полученное выражение в исходную дробь:

$\frac{1}{25} = \frac{1}{5^2}$

3. Воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем. Общая формула этого свойства: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$. Применив это правило к нашему выражению, мы получим:

$\frac{1}{5^2} = 5^{-2}$

Таким образом, число $\frac{1}{25}$, представленное в виде степени с основанием 5, равно $5^{-2}$. Сравнив этот результат с предложенными вариантами, мы видим, что правильным является вариант А).

Ответ: $5^{-2}$

7. Чему равно значение выражения $(1,7 \cdot 10^8) \cdot (6 \cdot 10^{-3})$?

А) $1,02 \cdot 10^5$

Б) $1,02 \cdot 10^6$

В) $10,2 \cdot 10^6$

Г) $1,02 \cdot 10^7$

7. Чтобы найти значение выражения, необходимо перемножить два числа, записанных в стандартном виде. Для этого воспользуемся свойствами умножения, чтобы сгруппировать отдельно числовые коэффициенты (мантиссы) и степени десяти.

$(1,7 \cdot 10^8) \cdot (6 \cdot 10^{-3}) = (1,7 \cdot 6) \cdot (10^8 \cdot 10^{-3})$

1. Сначала вычислим произведение числовых коэффициентов:

$1,7 \cdot 6 = 10,2$

2. Затем вычислим произведение степеней. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются (согласно свойству $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):

$10^8 \cdot 10^{-3} = 10^{8 + (-3)} = 10^{8-3} = 10^5$

3. Теперь объединим полученные результаты, перемножив их:

$10,2 \cdot 10^5$

4. Результат принято представлять в стандартном виде, который имеет вид $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$. В нашем случае коэффициент $a = 10,2$, что больше $10$. Чтобы привести число к стандартному виду, представим $10,2$ как $1,02 \cdot 10^1$ и подставим в наше выражение:

$(1,02 \cdot 10^1) \cdot 10^5 = 1,02 \cdot (10^1 \cdot 10^5)$

Снова применяем свойство умножения степеней:

$1,02 \cdot 10^{1+5} = 1,02 \cdot 10^6$

Таким образом, значение исходного выражения равно $1,02 \cdot 10^6$.

Сравнив наш результат с предложенными вариантами:
А) $1,02 \cdot 10^5$
Б) $1,02 \cdot 10^6$
В) $10,2 \cdot 10^6$
Г) $1,02 \cdot 10^7$
видим, что правильным является вариант Б.

Ответ: $1,02 \cdot 10^6$.

8. Найдите значение выражения $\frac{9^{-2} \cdot 3^{-5}}{81 \cdot 27^{-3}}$.

А) 81

Б) $\frac{1}{81}$

В) 27

Г) $\frac{1}{27}$

Чтобы найти значение выражения, приведем все числа к одному основанию — числу 3, так как 9, 81 и 27 являются его степенями.

Представим числа в виде степеней тройки:

• $9 = 3^2$
• $81 = 3^4$
• $27 = 3^3$

Теперь подставим эти значения в исходное выражение:

$\frac{9^{-2} \cdot 3^{-5}}{81 \cdot 27^{-3}} = \frac{(3^2)^{-2} \cdot 3^{-5}}{3^4 \cdot (3^3)^{-3}}$

Воспользуемся свойством возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$\frac{3^{2 \cdot (-2)} \cdot 3^{-5}}{3^4 \cdot 3^{3 \cdot (-3)}} = \frac{3^{-4} \cdot 3^{-5}}{3^4 \cdot 3^{-9}}$

Далее применим свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ для числителя и знаменателя:

$\frac{3^{-4+(-5)}}{3^{4+(-9)}} = \frac{3^{-9}}{3^{-5}}$

Теперь используем свойство деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$3^{-9 - (-5)} = 3^{-9+5} = 3^{-4}$

Наконец, вычислим значение, используя определение степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$3^{-4} = \frac{1}{3^4} = \frac{1}{81}$

Полученное значение $\frac{1}{81}$ соответствует варианту ответа Б).

Ответ: $\frac{1}{81}$.

9. Какая из данных функций не является обратной пропорциональностью?

А) $y = \frac{3}{x}$

Б) $y = -\frac{3}{x}$

В) $y = \frac{3}{2x}$

Г) $y = \frac{3x}{2}$

Обратная пропорциональность — это функциональная зависимость, задаваемая формулой вида $y = \frac{k}{x}$, где $x$ — независимая переменная, а $k$ — не равное нулю число (коэффициент пропорциональности). Главным признаком такой функции является то, что переменная $x$ находится в знаменателе дроби.

Проанализируем каждую из предложенных функций:

А) Функция $y = \frac{3}{x}$ полностью соответствует виду $y = \frac{k}{x}$, где коэффициент $k = 3$. Следовательно, это обратная пропорциональность.
Ответ: является обратной пропорциональностью.

Б) Функция $y = -\frac{3}{x}$ может быть записана как $y = \frac{-3}{x}$. Она также соответствует виду $y = \frac{k}{x}$, где коэффициент $k = -3$. Следовательно, это обратная пропорциональность.
Ответ: является обратной пропорциональностью.

В) Функция $y = \frac{3}{2x}$ может быть представлена в виде $y = \frac{3/2}{x}$. Она соответствует общему виду $y = \frac{k}{x}$, где коэффициент $k = \frac{3}{2}$. Следовательно, это обратная пропорциональность.
Ответ: является обратной пропорциональностью.

Г) Функция $y = \frac{3x}{2}$ может быть записана как $y = \frac{3}{2}x$. Это функция вида $y = kx$, которая является прямой пропорциональностью, а не обратной. Переменная $x$ находится в числителе, а не в знаменателе.
Ответ: не является обратной пропорциональностью.

Таким образом, единственная функция из предложенных, которая не является обратной пропорциональностью, — это функция под вариантом Г.

10. На одном из рисунков изображён график функции $y = -\frac{4}{x}$. Укажите этот рисунок.

А

Б

В

Г

Заданная функция $y = -\frac{4}{x}$ — это обратная пропорциональность. Графиком функции вида $y = \frac{k}{x}$ является гипербола. Расположение ветвей гиперболы на координатной плоскости определяется знаком коэффициента $k$.

• Если коэффициент $k > 0$, то ветви гиперболы располагаются в первой (I) и третьей (III) координатных четвертях.
• Если коэффициент $k < 0$, то ветви гиперболы располагаются во второй (II) и четвертой (IV) координатных четвертях.

В нашем случае для функции $y = -\frac{4}{x}$ коэффициент $k = -4$.

Поскольку $k < 0$, ветви графика должны быть расположены во второй и четвертой четвертях.

Теперь проанализируем каждый из предложенных рисунков:

• А: На этом рисунке ветви гиперболы расположены в I и III четвертях, что соответствует положительному коэффициенту ($k > 0$). Этот вариант не подходит.
• Б: На этом рисунке ветви гиперболы расположены во II и IV четвертях. Это соответствует отрицательному коэффициенту ($k < 0$), как в нашей функции. Этот вариант подходит.
• В: На этом рисунке изображена только одна ветвь гиперболы во II четверти. Это неполный график функции.
• Г: На этом рисунке также изображена только одна ветвь гиперболы, но в IV четверти. Это также неполный график.

Следовательно, единственный рисунок, на котором изображен полный график функции $y = -\frac{4}{x}$, — это рисунок Б.

Ответ: Б.