Страница 79 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Какую функцию называют обратной пропорциональностью?

1.

Обратной пропорциональностью называется функция, которую можно задать формулой вида $y = \frac{k}{x}$, где $x$ — независимая переменная (аргумент), а $k$ — некоторое число, отличное от нуля ($k \neq 0$). Число $k$ называют коэффициентом обратной пропорциональности.

Название "обратная" отражает характер зависимости между переменными: при увеличении абсолютного значения аргумента $|x|$ в несколько раз, соответствующее абсолютное значение функции $|y|$ уменьшается во столько же раз, и наоборот. Произведение переменных $x$ и $y$ всегда остается постоянным и равным коэффициенту $k$:

$xy = k$

Основные свойства и характеристики функции:

Область определения: Функция определена для всех действительных чисел, кроме $x=0$, так как деление на ноль невозможно. Запись: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Область значений: Множество значений функции также состоит из всех действительных чисел, кроме $y=0$, так как дробь $\frac{k}{x}$ не может равняться нулю, если $k \neq 0$. Запись: $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

График функции: Графиком обратной пропорциональности является кривая, называемая гиперболой. Она состоит из двух отдельных частей — ветвей, которые симметричны относительно начала координат. Расположение ветвей зависит от знака коэффициента $k$:

• Если $k > 0$, то ветви гиперболы расположены в первой и третьей координатных четвертях.

• Если $k < 0$, то ветви гиперболы расположены во второй и четвертой координатных четвертях.

Оси координат (ось Ox и ось Oy) являются асимптотами для графика. Это означает, что ветви гиперболы бесконечно приближаются к осям, но никогда их не пересекают.

Пример из жизни: Зависимость времени $t$, необходимого для прохождения фиксированного расстояния $S$, от скорости движения $v$. Эта зависимость выражается формулой $t = \frac{S}{v}$. Здесь время $t$ обратно пропорционально скорости $v$: чем выше скорость, тем меньше времени требуется на путь.

Ответ: Обратной пропорциональностью называют функцию, которую можно задать формулой $y = \frac{k}{x}$, где $x$ — независимая переменная, а $k$ — не равное нулю число (коэффициент пропорциональности).

2. Что является областью определения функции $y = \frac{k}{x}$, где $k \neq 0?$

Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента (переменной x), при которых выражение, задающее функцию, имеет смысл (то есть может быть вычислено).

Рассмотрим заданную функцию $y = \frac{k}{x}$. По условию, коэффициент $k \neq 0$.

Данная функция представляет собой дробь, в знаменателе которой находится переменная x. В математике существует фундаментальное правило: деление на ноль не определено. Поэтому для того, чтобы выражение $\frac{k}{x}$ имело смысл, его знаменатель не должен быть равен нулю.

Запишем это ограничение в виде неравенства:
$x \neq 0$

Это единственное ограничение для данной функции. Таким образом, аргумент x может быть любым действительным числом, кроме нуля.

Множество всех действительных чисел, за исключением точки 0, можно представить в виде объединения двух открытых числовых промежутков: от минус бесконечности до нуля и от нуля до плюс бесконечности.

Ответ: Областью определения функции $y = \frac{k}{x}$ является множество всех действительных чисел, кроме $x=0$, что в виде интервальной записи выглядит как $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

3. Как называют фигуру, которая является графиком обратной пропорциональности?

Фигура, которая является графиком обратной пропорциональности, называется гиперболой.

Обратная пропорциональность — это функциональная зависимость, при которой одна переменная (y) обратно пропорциональна другой переменной (x). Эта зависимость выражается формулой: $y = \frac{k}{x}$ где $x$ — независимая переменная (аргумент), причем $x \ne 0$, $y$ — зависимая переменная (функция), а $k$ — не равный нулю коэффициент пропорциональности.

График этой функции, гипербола, представляет собой кривую, состоящую из двух отдельных, симметричных относительно начала координат частей, которые называются ветвями. Расположение этих ветвей на координатной плоскости зависит от знака коэффициента $k$:

1. Если коэффициент $k > 0$, то ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях.
2. Если коэффициент $k < 0$, то ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях.

Оси координат (ось Ox и ось Oy) являются асимптотами для гиперболы. Это означает, что ветви графика бесконечно приближаются к осям по мере удаления от начала координат, но никогда их не пересекают. Это свойство следует из определения функции: $x$ не может быть равен нулю (так как деление на ноль не определено), и $y$ никогда не станет равным нулю (поскольку $k \ne 0$).

Ответ: гипербола.

4. Как называют функцию, которая при противоположных значениях аргумента принимает противоположные значения?

Функция, которая при противоположных значениях аргумента принимает противоположные значения, называется нечётной функцией.

По определению, функция $y = f(x)$ является нечётной, если для любого значения $x$ из её области определения выполняется два условия:

1. Область определения функции симметрична относительно начала координат (то есть, если $x$ принадлежит области определения, то и $-x$ также принадлежит ей).
2. Для любого $x$ из области определения выполняется равенство: $f(-x) = -f(x)$.

Это равенство как раз и означает, что противоположным значениям аргумента ($x$ и $-x$) соответствуют противоположные значения функции ($f(x)$ и $-f(x)$).

График нечётной функции всегда симметричен относительно начала координат (точки $(0; 0)$).

Примеры нечётных функций:

• Степенная функция с нечётным показателем: $y = x^3$, $y = x^5$ и т.д.
  Например, для $f(x) = x^3$: $f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)$.
• Тригонометрические функции: $y = \sin(x)$, $y = \tan(x)$, $y = \cot(x)$.
  Например, для $f(x) = \sin(x)$: $f(-x) = \sin(-x) = -\sin(x) = -f(x)$.
• Обратная пропорциональность: $y = \frac{k}{x}$ (при $k \ne 0$).
  Например, для $f(x) = \frac{1}{x}$: $f(-x) = \frac{1}{-x} = -\frac{1}{x} = -f(x)$.

Ответ: нечётная функция.

5. Что является областью значений функции $y = \frac{k}{x}$, где $k \neq 0$?

Область значений функции (которую также обозначают как $E(y)$) — это множество всех значений, которые может принимать зависимая переменная y в результате применения функции ко всем значениям из её области определения.

Нам дана функция обратной пропорциональности $y = \frac{k}{x}$ с условием, что коэффициент $k \neq 0$.

Для того чтобы найти область значений, нам нужно определить, какие значения может принимать y. Давайте попробуем выразить x через y из данного уравнения.

$y = \frac{k}{x}$

Чтобы выразить x, мы можем умножить обе части на x (поскольку $x \neq 0$ из области определения функции), а затем разделить на y:

$y \cdot x = k$

$x = \frac{k}{y}$

Из полученного выражения $x = \frac{k}{y}$ видно, что оно определено для любого значения y, кроме того, которое обращает знаменатель в ноль. В данном случае это $y = 0$. Это означает, что y не может быть равен нулю.

Мы можем убедиться в этом и другим способом. Предположим, что функция может принять значение $y=0$. Тогда исходное равенство выглядело бы так:

$0 = \frac{k}{x}$

При умножении на $x$ (где $x \neq 0$), мы бы получили $0 = k$. Но это напрямую противоречит условию задачи, где указано, что $k \neq 0$. Следовательно, наше предположение неверно, и $y$ никогда не может быть равен нулю.

При этом для любого другого действительного числа $y_0 \neq 0$ мы всегда можем найти соответствующее значение $x_0 = \frac{k}{y_0}$, при котором функция примет значение $y_0$.

Таким образом, область значений функции состоит из всех действительных чисел, за исключением нуля.

Ответ: Множество всех действительных чисел, кроме 0. В виде интервала это записывается как $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

6. В каких координатных четвертях расположен график функции $y = \frac{k}{x}$, если $k > 0$; если $k < 0$?

если k > 0:
Функция $y = \frac{k}{x}$ представляет собой обратную пропорциональность, график которой — гипербола. Положение ветвей гиперболы на координатной плоскости зависит от знака коэффициента $k$.
Когда $k$ является положительным числом ($k > 0$), произведение координат любой точки графика $x \cdot y = k$ также будет положительным. Произведение двух чисел положительно только в том случае, если оба числа имеют одинаковый знак. Рассмотрим возможные случаи для знаков координат $x$ и $y$:

1. Если абсцисса $x > 0$ (положительна), то для того, чтобы произведение $x \cdot y$ было положительным, ордината $y$ также должна быть положительной ($y > 0$). Точки с координатами $(x > 0, y > 0)$ расположены в I (первой) координатной четверти.

2. Если абсцисса $x < 0$ (отрицательна), то для того, чтобы произведение $x \cdot y$ было положительным, ордината $y$ также должна быть отрицательной ($y < 0$). Точки с координатами $(x < 0, y < 0)$ расположены в III (третьей) координатной четверти.

Таким образом, если $k > 0$, ветви гиперболы находятся в первой и третьей координатных четвертях.
Ответ: в I и III четвертях.

если k < 0:
Когда $k$ является отрицательным числом ($k < 0$), произведение координат любой точки графика $x \cdot y = k$ будет отрицательным. Произведение двух чисел отрицательно только в том случае, если числа имеют противоположные знаки. Рассмотрим возможные случаи для знаков координат $x$ и $y$:

1. Если абсцисса $x > 0$ (положительна), то для того, чтобы произведение $x \cdot y$ было отрицательным, ордината $y$ должна быть отрицательной ($y < 0$). Точки с координатами $(x > 0, y < 0)$ расположены в IV (четвертой) координатной четверти.

2. Если абсцисса $x < 0$ (отрицательна), то для того, чтобы произведение $x \cdot y$ было отрицательным, ордината $y$ должна быть положительной ($y > 0$). Точки с координатами $(x < 0, y > 0)$ расположены во II (второй) координатной четверти.

Таким образом, если $k < 0$, ветви гиперболы находятся во второй и четвертой координатных четвертях.
Ответ: во II и IV четвертях.

7. Объясните, в чём заключается графический метод решения уравнений.

Графический метод решения уравнений — это способ нахождения приближенных (а иногда и точных) корней уравнения, основанный на построении графиков функций в одной системе координат. Суть метода заключается в следующем:

1. Исходное уравнение, которое нужно решить, представляют в виде равенства двух функций: $f(x) = g(x)$. Для этого все члены уравнения, содержащие переменную, переносят в левую и правую части. Например, уравнение $x^3 - x - 1 = 0$ можно представить как $x^3 = x + 1$.

2. В одной прямоугольной системе координат строят графики двух функций: $y = f(x)$ и $y = g(x)$. В нашем примере это будут графики кубической параболы $y = x^3$ и прямой $y = x + 1$.

3. Находят точки пересечения построенных графиков. В точке пересечения значения ординат ($y$) для обоих графиков совпадают. Это означает, что для абсциссы ($x$) этой точки выполняется равенство $f(x) = g(x)$.

4. Абсциссы (координаты $x$) точек пересечения и являются корнями (решениями) исходного уравнения. Если графики не пересекаются, то уравнение не имеет действительных корней. Если они пересекаются в одной точке — у уравнения один корень, в двух точках — два корня и так далее.

Частный случай: если уравнение имеет вид $f(x) = 0$, то для его решения достаточно построить график функции $y = f(x)$ и найти абсциссы точек его пересечения с осью абсцисс (осью $Ox$). Это связано с тем, что на оси $Ox$ ордината $y$ всегда равна нулю.

Важное замечание: графический метод в большинстве случаев позволяет найти лишь приблизительные значения корней. Точные значения можно получить только тогда, когда точки пересечения имеют координаты, которые легко определить по графику (например, целочисленные). Основная ценность метода заключается в его наглядности: он позволяет легко определить количество корней уравнения и оценить их значения.

Ответ: Графический метод решения уравнения заключается в том, чтобы представить уравнение в виде $f(x) = g(x)$, построить графики функций $y = f(x)$ и $y = g(x)$ в одной системе координат и найти абсциссы точек их пересечения. Эти абсциссы и являются корнями уравнения.

312. Автомобиль проезжает некоторое расстояние за 10 ч. За какое время он проедет это же расстояние, если его скорость:

1) увеличится в 2 раза;

2) уменьшится в 1,2 раза?

Для решения этой задачи воспользуемся основной формулой движения: $s = v \cdot t$, где $s$ – это расстояние, $v$ – скорость, а $t$ – время. Поскольку расстояние в обоих случаях одинаковое, мы можем утверждать, что время движения обратно пропорционально скорости. Это значит, что если скорость увеличивается в определенное количество раз, то время уменьшается во столько же раз, и наоборот.

Начальное время движения автомобиля составляет $t_1 = 10$ часов.

1) увеличится в 2 раза;

Если скорость автомобиля увеличится в 2 раза, то время, необходимое для преодоления того же расстояния, уменьшится в 2 раза. Рассчитаем новое время $t_2$:

$t_2 = \frac{t_1}{2} = \frac{10 \text{ ч}}{2} = 5 \text{ ч}$

Ответ: 5 ч.

2) уменьшится в 1,2 раза?

Если скорость автомобиля уменьшится в 1,2 раза, то время, необходимое для преодоления того же расстояния, увеличится в 1,2 раза. Рассчитаем новое время $t_2$:

$t_2 = t_1 \cdot 1,2 = 10 \text{ ч} \cdot 1,2 = 12 \text{ ч}$

Ответ: 12 ч.