Страница 73 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

296. Плотность меди равна $8.9 \cdot 10^3 \text{ кг/м}^3$. Найдите массу медной плитки, длина которой $2.5 \cdot 10^{-1} \text{ м}$, ширина – 12 см, а высота – 0,02 м.

Для решения этой задачи необходимо найти массу ($m$) медной плитки. Масса тела вычисляется как произведение его плотности ($\rho$) на объем ($V$). Формула для расчета массы: $m = \rho \cdot V$.

1. Подготовка исходных данных.
Для корректных расчетов необходимо привести все величины к единой системе измерений (СИ). Плотность меди дана в кг/м³, поэтому все линейные размеры плитки (длину, ширину и высоту) необходимо выразить в метрах (м).

Дано:
Плотность меди: $\rho = 8,9 \cdot 10^3 \text{ кг/м}^3$.
Длина плитки: $l = 2,5 \cdot 10^{-1} \text{ м} = 0,25 \text{ м}$.
Ширина плитки: $w = 12 \text{ см}$. Так как в 1 метре 100 сантиметров, переводим в метры: $w = 12 / 100 = 0,12 \text{ м}$.
Высота плитки: $h = 0,02 \text{ м}$.

2. Вычисление объема плитки.
Плитка имеет форму прямоугольного параллелепипеда, поэтому ее объем ($V$) равен произведению длины, ширины и высоты.

$V = l \cdot w \cdot h$

Подставляем числовые значения:

$V = 0,25 \text{ м} \cdot 0,12 \text{ м} \cdot 0,02 \text{ м} = 0,0006 \text{ м}^3$.

3. Вычисление массы плитки.
Теперь, зная объем плитки и плотность меди, мы можем найти массу.

$m = \rho \cdot V$

Подставляем значения плотности и вычисленного объема:

$m = (8,9 \cdot 10^3 \text{ кг/м}^3) \cdot 0,0006 \text{ м}^3 = 8900 \text{ кг/м}^3 \cdot 0,0006 \text{ м}^3 = 5,34 \text{ кг}$.

Ответ: 5,34 кг.

297. Масса Земли равна $6 \cdot 10^{24}$ кг, а Луны – $7,4 \cdot 10^{22}$ кг. Во сколько раз масса Луны меньше массы Земли? Ответ округлите до единиц.

Для того чтобы найти, во сколько раз масса Луны меньше массы Земли, нужно разделить массу Земли на массу Луны.

Дано:
Масса Земли: $M_З = 6 \cdot 10^{24}$ кг
Масса Луны: $M_Л = 7,4 \cdot 10^{22}$ кг

Выполним деление:

$\frac{M_З}{M_Л} = \frac{6 \cdot 10^{24}}{7,4 \cdot 10^{22}}$

Для упрощения вычислений, разделим отдельно числовые коэффициенты и степени десяти. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются:

$\frac{6}{7,4} \cdot \frac{10^{24}}{10^{22}} = \frac{6}{7,4} \cdot 10^{(24 - 22)} = \frac{6}{7,4} \cdot 10^2$

Теперь вычислим значение дроби и умножим на $10^2$ (то есть на 100):

$\frac{6}{7,4} \approx 0,81081$

$0,81081 \cdot 100 = 81,081$

По условию задачи, ответ необходимо округлить до единиц. Так как первая цифра после запятой (0) меньше 5, округляем в меньшую сторону.

$81,081 \approx 81$

Ответ: 81

298. Упростите выражение и запишите результат в виде рационального выражения, не содержащего степени с отрицательным показателем:

1) $(\frac{a^{-1}}{a^{-1} + b^{-1}} - \frac{a^{-1} - b^{-1}}{a^{-1}}) : (\frac{b}{a^2})^{-1}$;

2) $\frac{b^{-2} - 2}{b^{-2}} - \frac{b^{-4} - 4}{b^{-2}} \cdot \frac{1}{b^{-2} - 2}$;

3) $\frac{5c^{-3}}{c^{-3} - 3} - \frac{c^{-3} + 6}{2c^{-3} - 6} \cdot \frac{90}{c^{-6} + 6c^{-3}} $;

4) $(\frac{m^{-4}}{m^{-4} - 4} - \frac{3m^{-4}}{m^{-8} - 8m^{-4} + 16}) \cdot (\frac{16 - m^{-8}}{m^{-4} - 7} + \frac{8m^{-4}}{m^{-4} - 4})$.

1) Исходное выражение: $ \left( \frac{a^{-1}}{a^{-1} + b^{-1}} - \frac{a^{-1} - b^{-1}}{a^{-1}} \right) : \left( \frac{b}{a^2} \right)^{-1} $.
Сначала преобразуем выражения с отрицательными степенями, используя свойство $ x^{-n} = \frac{1}{x^n} $:
$ a^{-1} = \frac{1}{a} $, $ b^{-1} = \frac{1}{b} $.
Также преобразуем делитель: $ \left( \frac{b}{a^2} \right)^{-1} = \frac{a^2}{b} $.
Подставим эти выражения в исходное уравнение:
$ \left( \frac{\frac{1}{a}}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} - \frac{\frac{1}{a} - \frac{1}{b}}{\frac{1}{a}} \right) : \frac{a^2}{b} $.
Упростим каждую дробь в скобках. Первая дробь:
$ \frac{\frac{1}{a}}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} = \frac{\frac{1}{a}}{\frac{b+a}{ab}} = \frac{1}{a} \cdot \frac{ab}{a+b} = \frac{b}{a+b} $.
Вторая дробь:
$ \frac{\frac{1}{a} - \frac{1}{b}}{\frac{1}{a}} = \frac{\frac{b-a}{ab}}{\frac{1}{a}} = \frac{b-a}{ab} \cdot a = \frac{b-a}{b} $.
Теперь выполним вычитание в скобках:
$ \frac{b}{a+b} - \frac{b-a}{b} = \frac{b \cdot b - (b-a)(a+b)}{b(a+b)} = \frac{b^2 - (b^2 - a^2)}{b(a+b)} = \frac{b^2 - b^2 + a^2}{b(a+b)} = \frac{a^2}{b(a+b)} $.
Наконец, выполним деление:
$ \frac{a^2}{b(a+b)} : \frac{a^2}{b} = \frac{a^2}{b(a+b)} \cdot \frac{b}{a^2} = \frac{1}{a+b} $.
Ответ: $ \frac{1}{a+b} $

2) Исходное выражение: $ \frac{b^{-2} - 2}{b^{-2}} - \frac{b^{-4} - 4}{b^{-2}} \cdot \frac{1}{b^{-2} - 2} $.
Для удобства сделаем замену $ x = b^{-2} $. Тогда $ b^{-4} = (b^{-2})^2 = x^2 $.
Выражение примет вид:
$ \frac{x - 2}{x} - \frac{x^2 - 4}{x} \cdot \frac{1}{x - 2} $.
Сначала выполним умножение. Разложим $ x^2 - 4 $ на множители как разность квадратов: $ x^2 - 4 = (x-2)(x+2) $.
$ \frac{(x-2)(x+2)}{x} \cdot \frac{1}{x-2} = \frac{x+2}{x} $.
Теперь выполним вычитание:
$ \frac{x-2}{x} - \frac{x+2}{x} = \frac{(x-2) - (x+2)}{x} = \frac{x-2-x-2}{x} = \frac{-4}{x} $.
Сделаем обратную замену $ x = b^{-2} $:
$ \frac{-4}{b^{-2}} = -4 \cdot b^2 = -4b^2 $.
Ответ: $ -4b^2 $

3) Исходное выражение: $ \frac{5c^{-3}}{c^{-3} - 3} - \frac{c^{-3} + 6}{2c^{-3} - 6} \cdot \frac{90}{c^{-6} + 6c^{-3}} $.
Сделаем замену $ y = c^{-3} $. Тогда $ c^{-6} = (c^{-3})^2 = y^2 $.
Выражение примет вид:
$ \frac{5y}{y - 3} - \frac{y + 6}{2y - 6} \cdot \frac{90}{y^2 + 6y} $.
Упростим произведение. Разложим знаменатели на множители: $ 2y-6 = 2(y-3) $ и $ y^2+6y = y(y+6) $.
$ \frac{y + 6}{2(y - 3)} \cdot \frac{90}{y(y + 6)} = \frac{1}{2(y-3)} \cdot \frac{90}{y} = \frac{45}{y(y-3)} $.
Теперь выполним вычитание. Приведем дроби к общему знаменателю $ y(y-3) $:
$ \frac{5y}{y - 3} - \frac{45}{y(y - 3)} = \frac{5y \cdot y}{y(y - 3)} - \frac{45}{y(y - 3)} = \frac{5y^2 - 45}{y(y-3)} $.
Разложим числитель на множители: $ 5y^2 - 45 = 5(y^2 - 9) = 5(y-3)(y+3) $.
$ \frac{5(y-3)(y+3)}{y(y-3)} = \frac{5(y+3)}{y} $.
Сделаем обратную замену $ y = c^{-3} $:
$ \frac{5(c^{-3}+3)}{c^{-3}} = \frac{5(\frac{1}{c^3}+3)}{\frac{1}{c^3}} = \frac{5 \cdot \frac{1+3c^3}{c^3}}{\frac{1}{c^3}} = 5(1+3c^3) = 5 + 15c^3 $.
Ответ: $ 15c^3 + 5 $

4) Исходное выражение: $ \left( \frac{m^{-4}}{m^{-4} - 4} - \frac{3m^{-4}}{m^{-8} - 8m^{-4} + 16} \right) \cdot \frac{16 - m^{-8}}{m^{-4} - 7} + \frac{8m^{-4}}{m^{-4} - 4} $.
Сделаем замену $ z = m^{-4} $. Тогда $ m^{-8} = (m^{-4})^2 = z^2 $.
Выражение примет вид:
$ \left( \frac{z}{z - 4} - \frac{3z}{z^2 - 8z + 16} \right) \cdot \frac{16 - z^2}{z - 7} + \frac{8z}{z - 4} $.
Сначала упростим выражение в скобках. Заметим, что знаменатель второй дроби является полным квадратом: $ z^2 - 8z + 16 = (z-4)^2 $.
$ \frac{z}{z - 4} - \frac{3z}{(z-4)^2} = \frac{z(z-4) - 3z}{(z-4)^2} = \frac{z^2 - 4z - 3z}{(z-4)^2} = \frac{z^2 - 7z}{(z-4)^2} = \frac{z(z-7)}{(z-4)^2} $.
Теперь выполним умножение. Разложим $ 16 - z^2 $ на множители: $ 16 - z^2 = (4-z)(4+z) = -(z-4)(z+4) $.
$ \frac{z(z-7)}{(z-4)^2} \cdot \frac{-(z-4)(z+4)}{z-7} = \frac{z \cdot (-(z+4))}{z-4} = \frac{-z(z+4)}{z-4} $.
Теперь выполним сложение:
$ \frac{-z(z+4)}{z-4} + \frac{8z}{z-4} = \frac{-z^2-4z+8z}{z-4} = \frac{-z^2+4z}{z-4} $.
Вынесем $ -z $ в числителе за скобки: $ \frac{-z(z-4)}{z-4} = -z $.
Сделаем обратную замену $ z = m^{-4} $:
$ -m^{-4} = -\frac{1}{m^4} $.
Ответ: $ -\frac{1}{m^4} $

299. Упростите выражение и запишите результат в виде рационального выражения, не содержащего степени с отрицательным показателем:

1) $\frac{a^{-2} + 5}{a^{-4} - 6a^{-2} + 9} : \frac{a^{-4} - 25}{4a^{-2} - 12} - \frac{2}{a^{-2} - 5}$

2) $(b^{-1} - \frac{5b^{-1} - 36}{b^{-1} - 7}) \cdot (2b^{-1} + \frac{2b^{-1}}{b^{-1} - 7})^{-1}$

1) $\frac{a^{-2} + 5}{a^{-4} - 6a^{-2} + 9} : \frac{a^{-4} - 25}{4a^{-2} - 12} - \frac{2}{a^{-2} - 5}$

Чтобы упростить выражение, введем замену: пусть $x = a^{-2}$. Тогда $x^2 = (a^{-2})^2 = a^{-4}$. Выражение примет вид:

$\frac{x + 5}{x^2 - 6x + 9} : \frac{x^2 - 25}{4x - 12} - \frac{2}{x - 5}$

Теперь упростим его по частям.

1. Разложим на множители знаменатели и числитель второй дроби:

• $x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2$ (формула квадрата разности)
• $x^2 - 25 = (x-5)(x+5)$ (формула разности квадратов)
• $4x - 12 = 4(x-3)$ (вынесение общего множителя за скобки)

Подставим разложенные многочлены в выражение:

$\frac{x + 5}{(x-3)^2} : \frac{(x-5)(x+5)}{4(x-3)} - \frac{2}{x-5}$

2. Выполним деление дробей. Для этого заменим деление на умножение и перевернем вторую дробь:

$\frac{x + 5}{(x-3)^2} \cdot \frac{4(x-3)}{(x-5)(x+5)} - \frac{2}{x-5}$

3. Сократим общие множители в произведении:

$\frac{\cancel{(x + 5)}}{\cancel{(x-3)^2}} \cdot \frac{4\cancel{(x-3)}}{(x-5)\cancel{(x+5)}} - \frac{2}{x-5} = \frac{4}{(x-3)(x-5)} - \frac{2}{x-5}$

4. Выполним вычитание дробей. Приведем их к общему знаменателю $(x-3)(x-5)$:

$\frac{4}{(x-3)(x-5)} - \frac{2(x-3)}{(x-3)(x-5)} = \frac{4 - 2(x-3)}{(x-3)(x-5)} = \frac{4 - 2x + 6}{(x-3)(x-5)} = \frac{10 - 2x}{(x-3)(x-5)}$

5. Упростим числитель, вынеся общий множитель за скобки, и сократим дробь:

$\frac{2(5-x)}{(x-3)(x-5)} = \frac{-2(x-5)}{(x-3)(x-5)} = \frac{-2}{x-3}$

6. Вернемся к исходной переменной, подставив $x = a^{-2}$:

$\frac{-2}{a^{-2}-3}$

7. Избавимся от отрицательной степени в знаменателе. По определению $a^{-2} = \frac{1}{a^2}$:

$\frac{-2}{\frac{1}{a^2}-3} = \frac{-2}{\frac{1-3a^2}{a^2}} = -2 \cdot \frac{a^2}{1-3a^2} = \frac{-2a^2}{1-3a^2} = \frac{2a^2}{3a^2-1}$

Ответ: $\frac{2a^2}{3a^2-1}$

2) $\left( b^{-1} - \frac{5b^{-1} - 36}{b^{-1} - 7} \right) \cdot \left( 2b^{-1} + \frac{2b^{-1}}{b^{-1} - 7} \right)^{-1}$

Чтобы упростить выражение, введем замену: пусть $y = b^{-1}$. Выражение примет вид:

$\left( y - \frac{5y - 36}{y - 7} \right) \cdot \left( 2y + \frac{2y}{y - 7} \right)^{-1}$

Упростим выражения в каждой из скобок.

1. Первые скобки:

$y - \frac{5y - 36}{y - 7} = \frac{y(y-7) - (5y-36)}{y-7} = \frac{y^2 - 7y - 5y + 36}{y-7} = \frac{y^2 - 12y + 36}{y-7}$

Числитель является полным квадратом: $y^2 - 12y + 36 = (y-6)^2$.

Таким образом, выражение в первых скобках равно $\frac{(y-6)^2}{y-7}$.

2. Вторые скобки:

$2y + \frac{2y}{y - 7} = \frac{2y(y-7) + 2y}{y-7} = \frac{2y^2 - 14y + 2y}{y-7} = \frac{2y^2 - 12y}{y-7}$

Вынесем общий множитель в числителе: $2y(y-6)$.

Таким образом, выражение во вторых скобках равно $\frac{2y(y-6)}{y-7}$.

3. Подставим упрощенные выражения обратно в исходное:

$\frac{(y-6)^2}{y-7} \cdot \left( \frac{2y(y-6)}{y-7} \right)^{-1}$

4. Степень $-1$ означает, что нужно взять обратную дробь (перевернуть ее):

$\frac{(y-6)^2}{y-7} \cdot \frac{y-7}{2y(y-6)}$

5. Сократим общие множители $(y-6)$ и $(y-7)$:

$\frac{\cancel{(y-6)^2}}{\cancel{y-7}} \cdot \frac{\cancel{y-7}}{2y\cancel{(y-6)}} = \frac{y-6}{2y}$

6. Вернемся к исходной переменной, подставив $y = b^{-1}$:

$\frac{b^{-1} - 6}{2b^{-1}}$

7. Избавимся от отрицательной степени. По определению $b^{-1} = \frac{1}{b}$:

$\frac{\frac{1}{b} - 6}{2 \cdot \frac{1}{b}} = \frac{\frac{1-6b}{b}}{\frac{2}{b}} = \frac{1-6b}{b} \cdot \frac{b}{2} = \frac{1-6b}{2}$

Ответ: $\frac{1-6b}{2}$

300. Порядок числа $a$ равен $-4$, а порядок числа $b$ равен $3$. Каким может быть порядок значения выражения:

1) $ab$;

2) $a+b$;

3) $a+10b$;

4) $10a+0,1b$?

По определению, число, записанное в стандартном виде, имеет вид $x = m \cdot 10^p$, где $1 \le |m| < 10$, а $p$ — целое число, называемое порядком числа $x$.

По условию задачи, порядок числа $a$ равен $-4$, а порядок числа $b$ равен $3$. Это означает, что эти числа можно представить в стандартном виде: $a = m_a \cdot 10^{-4}$, где $1 \le |m_a| < 10$, и $b = m_b \cdot 10^{3}$, где $1 \le |m_b| < 10$.

Рассмотрим каждое выражение.

1) ab

Найдем произведение чисел $a$ и $b$:

$ab = (m_a \cdot 10^{-4}) \cdot (m_b \cdot 10^{3}) = (m_a \cdot m_b) \cdot 10^{-4+3} = (m_a \cdot m_b) \cdot 10^{-1}$

Новая мантисса равна $M = m_a \cdot m_b$. Поскольку $1 \le |m_a| < 10$ и $1 \le |m_b| < 10$, то для их произведения выполняется неравенство $1 \le |m_a \cdot m_b| < 100$.

Возможны два случая:

1. Если $1 \le |m_a \cdot m_b| < 10$, то выражение уже записано в стандартном виде, и его порядок равен $-1$. Например, пусть $a = 2 \cdot 10^{-4}$ и $b = 3 \cdot 10^3$. Тогда $ab = 6 \cdot 10^{-1}$, порядок равен $-1$.

2. Если $10 \le |m_a \cdot m_b| < 100$, то мантиссу нужно привести к стандартному виду: $m_a \cdot m_b = m' \cdot 10^1$, где $1 \le |m'| < 10$. Тогда $ab = (m' \cdot 10^1) \cdot 10^{-1} = m' \cdot 10^{0}$. Порядок в этом случае равен $0$. Например, пусть $a = 5 \cdot 10^{-4}$ и $b = 4 \cdot 10^3$. Тогда $ab = 20 \cdot 10^{-1} = (2 \cdot 10^1) \cdot 10^{-1} = 2 \cdot 10^0$, порядок равен $0$.

Ответ: $-1$ или $0$.

2) a + b

Найдем сумму чисел $a$ и $b$:

$a + b = m_a \cdot 10^{-4} + m_b \cdot 10^3$

Так как порядок числа $b$ ($3$) намного больше порядка числа $a$ ($-4$), то слагаемое $b$ будет определять порядок суммы. Вынесем за скобки $10^3$:

$a + b = (m_a \cdot 10^{-4-3} + m_b) \cdot 10^3 = (m_b + m_a \cdot 10^{-7}) \cdot 10^3$

Новая мантисса равна $M = m_b + m_a \cdot 10^{-7}$. Добавка $m_a \cdot 10^{-7}$ очень мала.

1. В общем случае, когда $|m_b|$ не близко к $1$, $|M|$ будет находиться в диапазоне $[1, 10)$, и порядок суммы будет равен $3$. Например, пусть $a = 2 \cdot 10^{-4}$ и $b = 5 \cdot 10^3$. Тогда $a+b = 0.0002 + 5000 = 5000.0002 = 5.0000002 \cdot 10^3$. Порядок равен $3$.

2. Однако, если $|m_b|$ близко к $1$, а знаки $m_a$ и $m_b$ противоположны, мантисса $|M|$ может стать меньше $1$. Например, пусть $b = 1 \cdot 10^3$ (т.е. $m_b=1$) и $a = -2 \cdot 10^{-4}$ (т.е. $m_a=-2$). Тогда $a+b = 1000 - 0.0002 = 999.9998 = 9.999998 \cdot 10^2$. В этом случае порядок равен $2$.

Ответ: $3$ или $2$.

3) a + 10b

Сначала найдем порядок слагаемого $10b$:

$10b = 10 \cdot (m_b \cdot 10^3) = m_b \cdot 10^4$

Порядок числа $10b$ равен $4$. Теперь рассмотрим сумму $a + 10b = m_a \cdot 10^{-4} + m_b \cdot 10^4$. Порядок второго слагаемого ($4$) намного больше порядка первого ($-4$). Вынесем за скобки $10^4$:

$a + 10b = (m_a \cdot 10^{-4-4} + m_b) \cdot 10^4 = (m_b + m_a \cdot 10^{-8}) \cdot 10^4$

Новая мантисса равна $M = m_b + m_a \cdot 10^{-8}$.

1. В общем случае порядок суммы будет равен $4$. Например, пусть $a = 1 \cdot 10^{-4}$ и $b = 2 \cdot 10^3$. Тогда $a+10b = 0.0001 + 20000 = 20000.0001 = 2.00000001 \cdot 10^4$. Порядок равен $4$.

2. В граничном случае, если $m_b=1$ и $a$ — отрицательное число, порядок может уменьшиться. Например, пусть $b = 1 \cdot 10^3$ ($m_b=1$) и $a = -5 \cdot 10^{-4}$ ($m_a=-5$). Тогда $a+10b = -0.0005 + 10000 = 9999.9995 = 9.9999995 \cdot 10^3$. В этом случае порядок равен $3$.

Ответ: $4$ или $3$.

4) 10a + 0,1b

Преобразуем оба слагаемых к стандартному виду:

$10a = 10 \cdot (m_a \cdot 10^{-4}) = m_a \cdot 10^{-3}$. Порядок этого числа $-3$.

$0.1b = 10^{-1} \cdot (m_b \cdot 10^3) = m_b \cdot 10^2$. Порядок этого числа $2$.

Найдем сумму $10a + 0.1b = m_a \cdot 10^{-3} + m_b \cdot 10^2$. Порядок второго слагаемого ($2$) больше порядка первого ($-3$). Вынесем за скобки $10^2$:

$10a + 0.1b = (m_a \cdot 10^{-3-2} + m_b) \cdot 10^2 = (m_b + m_a \cdot 10^{-5}) \cdot 10^2$

Новая мантисса равна $M = m_b + m_a \cdot 10^{-5}$.

1. В общем случае порядок суммы будет равен $2$. Например, пусть $a = 1 \cdot 10^{-4}$ и $b = 3 \cdot 10^3$. Тогда $10a+0.1b = 10^{-3} + 300 = 300.001 = 3.00001 \cdot 10^2$. Порядок равен $2$.

2. В граничном случае, если $m_b=1$ и $a$ — отрицательное число, порядок может уменьшиться. Например, пусть $b = 1 \cdot 10^3$ ($m_b=1$) и $a = -4 \cdot 10^{-4}$ ($m_a=-4$). Тогда $10a+0.1b = -0.004 + 100 = 99.996 = 9.9996 \cdot 10^1$. В этом случае порядок равен $1$.

Ответ: $2$ или $1$.

301. Порядок числа $m$ равен 2, а порядок числа $n$ равен 4. Каким может быть порядок значения выражения:

1) $mn$;

2) $0.01mn$;

3) $100m + n$;

4) $0.01m + n$?

Понятие "порядок числа" означает показатель степени числа 10 в стандартной записи этого числа. Стандартная запись числа $x$ имеет вид $a \cdot 10^p$, где $1 \le a < 10$, а $p$ — целое число, которое и является порядком числа $x$.

Из условия задачи:

• Порядок числа $m$ равен 2, следовательно, $m = a \cdot 10^2$, где $1 \le a < 10$. Это означает, что $100 \le m < 1000$.
• Порядок числа $n$ равен 4, следовательно, $n = b \cdot 10^4$, где $1 \le b < 10$. Это означает, что $10000 \le n < 100000$.

Теперь рассмотрим каждое выражение.

1) mn;

Найдем произведение $mn$:

$mn = (a \cdot 10^2) \cdot (b \cdot 10^4) = (a \cdot b) \cdot 10^{2+4} = (a \cdot b) \cdot 10^6$.

Чтобы определить порядок, нужно проанализировать значение мантиссы $a \cdot b$.

Поскольку $1 \le a < 10$ и $1 \le b < 10$, их произведение $a \cdot b$ находится в интервале $1 \le a \cdot b < 100$.

Возможны два случая:

1. Если $1 \le a \cdot b < 10$, то число $(a \cdot b) \cdot 10^6$ уже записано в стандартном виде, и его порядок равен 6. Например, если $m = 2 \cdot 10^2$ и $n = 3 \cdot 10^4$, то $mn = 6 \cdot 10^6$.
2. Если $10 \le a \cdot b < 100$, то для приведения к стандартному виду мантиссу нужно разделить на 10, а показатель степени увеличить на 1. То есть, $a \cdot b = c \cdot 10^1$, где $1 \le c < 10$. Тогда $mn = (c \cdot 10^1) \cdot 10^6 = c \cdot 10^7$. В этом случае порядок равен 7. Например, если $m = 4 \cdot 10^2$ и $n = 5 \cdot 10^4$, то $mn = 20 \cdot 10^6 = 2 \cdot 10^7$.

Ответ: порядок может быть равен 6 или 7.

2) 0,01mn;

Это выражение можно записать как $10^{-2} \cdot mn$. Умножение на $10^{-2}$ уменьшает порядок числа на 2.

Используя результаты из пункта 1:

1. Если порядок $mn$ равен 6, то $mn = c \cdot 10^6$. Тогда $0,01mn = 10^{-2} \cdot (c \cdot 10^6) = c \cdot 10^{6-2} = c \cdot 10^4$. Порядок равен 4.
2. Если порядок $mn$ равен 7, то $mn = d \cdot 10^7$. Тогда $0,01mn = 10^{-2} \cdot (d \cdot 10^7) = d \cdot 10^{7-2} = d \cdot 10^5$. Порядок равен 5.

Ответ: порядок может быть равен 4 или 5.

3) 100m + n;

Сначала найдем порядок слагаемого $100m$:

$100m = 10^2 \cdot m = 10^2 \cdot (a \cdot 10^2) = a \cdot 10^4$.

Поскольку $1 \le a < 10$, порядок числа $100m$ равен 4. Число $n = b \cdot 10^4$ также имеет порядок 4. Мы складываем два числа одного порядка.

$100m + n = a \cdot 10^4 + b \cdot 10^4 = (a+b) \cdot 10^4$.

Проанализируем новую мантиссу $a+b$.

Так как $1 \le a < 10$ и $1 \le b < 10$, то их сумма $a+b$ находится в интервале $2 \le a+b < 20$.

Возможны два случая:

1. Если $2 \le a+b < 10$, то число $(a+b) \cdot 10^4$ уже в стандартном виде, и его порядок равен 4. Например, если $m=2 \cdot 10^2$ и $n=3 \cdot 10^4$, то $100m+n = 2 \cdot 10^4 + 3 \cdot 10^4 = 5 \cdot 10^4$.
2. Если $10 \le a+b < 20$, то мантиссу нужно привести к стандартному виду: $a+b = c \cdot 10^1$, где $1 \le c < 2$. Тогда $100m + n = (c \cdot 10^1) \cdot 10^4 = c \cdot 10^5$. Порядок равен 5. Например, если $m=8 \cdot 10^2$ и $n=9 \cdot 10^4$, то $100m+n = 8 \cdot 10^4 + 9 \cdot 10^4 = 17 \cdot 10^4 = 1.7 \cdot 10^5$.

Ответ: порядок может быть равен 4 или 5.

4) 0,01m + n?

Найдем порядок слагаемого $0,01m$:

$0,01m = 10^{-2} \cdot m = 10^{-2} \cdot (a \cdot 10^2) = a \cdot 10^0 = a$.

Поскольку $1 \le a < 10$, порядок числа $0,01m$ равен 0. Его значение находится в интервале $[1, 10)$.

Число $n = b \cdot 10^4$ имеет порядок 4. Его значение находится в интервале $[10000, 100000)$.

При сложении двух чисел с сильно различающимися порядками (0 и 4), порядок суммы определяется порядком большего числа.

Рассмотрим сумму: $0,01m + n = a + b \cdot 10^4$.

Представим эту сумму в стандартном виде:

$b \cdot 10^4 + a = (b + a \cdot 10^{-4}) \cdot 10^4$.

Новая мантисса равна $b + a \cdot 10^{-4}$. Оценим ее значение. Так как $1 \le a < 10$, то $0.0001 \le a \cdot 10^{-4} < 0.001$. Так как $1 \le b < 10$, то $1+0.0001 \le b + a \cdot 10^{-4} < 10+0.001$.

Новая мантисса $b + a \cdot 10^{-4}$ всегда будет находиться в интервале $[1.0001, 10.001)$, то есть она всегда будет удовлетворять условию $1 \le \text{мантисса} < 10$ (она не может достичь 10, так как $b$ строго меньше 10). Следовательно, порядок выражения всегда будет равен 4.

Ответ: порядок может быть равен только 4.

302. Среднее арифметическое двух натуральных чисел равно 18. При делении большего из этих чисел на меньшее получим неполное частное 3 и остаток 4. Найдите эти числа.

Пусть искомые натуральные числа равны $a$ и $b$. Для определенности предположим, что $a$ — это большее число, а $b$ — меньшее, то есть $a > b$.

Из первого условия задачи известно, что среднее арифметическое этих чисел равно 18. Составим первое уравнение на основе этого условия:
$\frac{a + b}{2} = 18$
Чтобы упростить это уравнение, умножим обе его части на 2:
$a + b = 36$

Из второго условия известно, что при делении большего числа ($a$) на меньшее ($b$) получается неполное частное 3 и остаток 4. Это можно записать в виде следующего равенства, основанного на правиле деления с остатком:
$a = 3 \cdot b + 4$
Важным свойством деления с остатком является то, что остаток всегда меньше делителя. В нашем случае это означает, что $4 < b$.

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными:
$\begin{cases} a + b = 36 \\ a = 3b + 4 \end{cases}$

Для решения этой системы удобно использовать метод подстановки. Подставим выражение для $a$ из второго уравнения в первое:
$(3b + 4) + b = 36$

Теперь решим полученное уравнение относительно переменной $b$:
$4b + 4 = 36$
$4b = 36 - 4$
$4b = 32$
$b = \frac{32}{4}$
$b = 8$

Мы нашли меньшее число. Проверим, удовлетворяет ли оно условию $b > 4$. Так как $8 > 4$, условие выполняется.

Теперь найдем большее число $a$, подставив найденное значение $b=8$ в первое уравнение системы:
$a + 8 = 36$
$a = 36 - 8$
$a = 28$

Итак, искомые числа — это 28 и 8.

Выполним проверку:
1. Среднее арифметическое: $\frac{28 + 8}{2} = \frac{36}{2} = 18$. Верно.
2. Деление с остатком: $28$ разделить на $8$ дает неполное частное $3$ и остаток $4$ ($28 = 8 \cdot 3 + 4$). Верно.

Ответ: 28 и 8.

303. Благодаря мероприятиям по экономии электроэнергии за первый месяц её расход был уменьшен на 20 %, за второй — на 10 % по сравнению с предыдущим, а за третий — на 5 % по сравнению с предыдущим. На сколько процентов в итоге был уменьшен расход электроэнергии?

Решение:

Для решения этой задачи необходимо последовательно вычислять изменение расхода электроэнергии каждый месяц. Примем первоначальный расход за $X$ или за 1 (что соответствует 100%).

1. Расход после первого месяца.
Первоначальный расход был уменьшен на 20%. Это означает, что новый расход составил $100\% - 20\% = 80\%$ от первоначального. В виде десятичной дроби это $1 - 0.2 = 0.8$.
Расход после первого месяца: $X_1 = X \cdot 0.8 = 0.8X$.

2. Расход после второго месяца.
Расход был уменьшен на 10% по сравнению с предыдущим месяцем (то есть от $X_1$). Новый расход составил $100\% - 10\% = 90\%$ от расхода за первый месяц. В виде десятичной дроби это $1 - 0.1 = 0.9$.
Расход после второго месяца: $X_2 = X_1 \cdot 0.9 = (0.8X) \cdot 0.9 = 0.72X$.

3. Расход после третьего месяца.
Расход был уменьшен на 5% по сравнению с предыдущим месяцем (то есть от $X_2$). Новый расход составил $100\% - 5\% = 95\%$ от расхода за второй месяц. В виде десятичной дроби это $1 - 0.05 = 0.95$.
Итоговый расход: $X_3 = X_2 \cdot 0.95 = (0.72X) \cdot 0.95 = 0.684X$.

4. Общее уменьшение расхода.
Итоговый расход составил $0.684X$, что равно $68.4\%$ от первоначального. Чтобы найти, на сколько процентов был уменьшен расход, нужно вычесть итоговое значение из первоначального (100%):
$100\% - 68.4\% = 31.6\%$.
Или, если работать с долями: $X - 0.684X = 0.316X$. Умножив на 100, получим процентное уменьшение: $0.316 \cdot 100\% = 31.6\%$.

Ответ: на 31,6%.