Страница 70 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Сформулируйте свойства степени с целым показателем.

Для любого действительного числа $a \neq 0$ и любых целых чисел $m$ и $n$ справедливы следующие свойства степени с целым показателем. Эти свойства являются обобщением свойств степени с натуральным показателем.

1. Степень с нулевым показателем

Степень любого числа, не равного нулю, с нулевым показателем равна единице. Это определение необходимо для целостности остальных свойств. Для любого $a \neq 0$:

$a^0 = 1$

Ответ: $a^0 = 1$

2. Степень с отрицательным целым показателем

Степень числа, не равного нулю, с отрицательным целым показателем $-n$ (где $n$ — натуральное число) равна числу, обратному степени того же числа с показателем $n$. Для любого $a \neq 0$ и натурального $n$:

$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$

Ответ: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$

3. Умножение степеней с одинаковым основанием

При умножении степеней с одинаковым основанием, основание оставляют прежним, а показатели степеней складывают. Для любого $a \neq 0$ и любых целых $m$ и $n$:

$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$

Ответ: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$

4. Деление степеней с одинаковым основанием

При делении степеней с одинаковым основанием, основание оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя. Для любого $a \neq 0$ и любых целых $m$ и $n$:

$a^m : a^n = \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$

Ответ: $a^m : a^n = a^{m-n}$

5. Возведение степени в степень

При возведении степени в степень, основание оставляют прежним, а показатели перемножают. Для любого $a \neq 0$ и любых целых $m$ и $n$:

$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$

Ответ: $(a^m)^n = a^{mn}$

6. Возведение в степень произведения

Чтобы возвести в степень произведение, нужно возвести в эту степень каждый множитель и результаты перемножить. Для любых $a \neq 0$, $b \neq 0$ и любого целого $n$:

$(ab)^n = a^n b^n$

Ответ: $(ab)^n = a^n b^n$

7. Возведение в степень частного (дроби)

Чтобы возвести в степень частное (дробь), нужно возвести в эту степень отдельно числитель и знаменатель, и первый результат разделить на второй. Для любых $a \neq 0$, $b \neq 0$ и любого целого $n$:

$(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$

Ответ: $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$

274. Представьте выражение в виде степени с основанием $a$ или произведения степеней с разными основаниями:

1) $a^{-6} \cdot a^{9};$

2) $a^{5} \cdot a^{-8};$

3) $a^{-5} \cdot a^{10} \cdot a^{-12};$

4) $a^{-2} : a^{6};$

5) $a^{7} : a^{-3};$

6) $a^{-3} : a^{-15};$

7) $a^{12} \cdot a^{-20} : a^{-9};$

8) $(a^{-5})^{4};$

9) $(a^{-6})^{-8};$

10) $(a^{2})^{-4} \cdot (a^{-3})^{-2} \cdot (a^{-8})^{3}.$

11) $(a^{4}b^{-2}c^{3})^{-10}.$

12) $(\frac{a^{10}b^{-7}}{c^{6}d^{-14}})^{-2}.$

1) Для умножения степеней с одинаковым основанием нужно сложить их показатели, используя правило $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
$a^{-6} \cdot a^9 = a^{-6+9} = a^3$.
Ответ: $a^3$.

2) Применяем то же правило, что и в предыдущем примере: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
$a^5 \cdot a^{-8} = a^{5+(-8)} = a^{5-8} = a^{-3}$.
Ответ: $a^{-3}$.

3) Свойство умножения степеней распространяется на любое количество множителей. Складываем все показатели.
$a^{-5} \cdot a^{10} \cdot a^{-12} = a^{-5+10-12} = a^{5-12} = a^{-7}$.
Ответ: $a^{-7}$.

4) При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются, согласно правилу $a^m : a^n = a^{m-n}$.
$a^{-2} : a^6 = a^{-2-6} = a^{-8}$.
Ответ: $a^{-8}$.

5) Используем правило деления степеней $a^m : a^n = a^{m-n}$.
$a^7 : a^{-3} = a^{7-(-3)} = a^{7+3} = a^{10}$.
Ответ: $a^{10}$.

6) Снова применяем правило вычитания показателей при делении степеней.
$a^{-3} : a^{-15} = a^{-3-(-15)} = a^{-3+15} = a^{12}$.
Ответ: $a^{12}$.

7) Выполняем действия последовательно слева направо. Сначала умножение, затем деление.
$a^{12} \cdot a^{-20} : a^{-9} = a^{12-20} : a^{-9} = a^{-8} : a^{-9} = a^{-8-(-9)} = a^{-8+9} = a^1 = a$.
Ответ: $a$.

8) При возведении степени в степень их показатели перемножаются, по правилу $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
$(a^{-5})^4 = a^{-5 \cdot 4} = a^{-20}$.
Ответ: $a^{-20}$.

9) Используем то же правило возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
$(a^{-6})^{-8} = a^{-6 \cdot (-8)} = a^{48}$.
Ответ: $a^{48}$.

10) Сначала упростим каждый множитель, используя правило возведения степени в степень, а затем выполним умножение и деление.
$(a^2)^{-4} = a^{2 \cdot (-4)} = a^{-8}$
$(a^{-3})^{-2} = a^{-3 \cdot (-2)} = a^6$
$(a^{-8})^3 = a^{-8 \cdot 3} = a^{-24}$
Подставляем полученные значения в исходное выражение:
$a^{-8} \cdot a^6 : a^{-24} = a^{-8+6} : a^{-24} = a^{-2} : a^{-24} = a^{-2-(-24)} = a^{-2+24} = a^{22}$.
Ответ: $a^{22}$.

11) Чтобы возвести произведение в степень, нужно возвести в эту степень каждый множитель: $(abc)^n = a^n b^n c^n$. Затем применяем правило $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
$(a^4b^{-2}c^3)^{-10} = (a^4)^{-10} \cdot (b^{-2})^{-10} \cdot (c^3)^{-10} = a^{4 \cdot (-10)}b^{-2 \cdot (-10)}c^{3 \cdot (-10)} = a^{-40}b^{20}c^{-30}$.
Ответ: $a^{-40}b^{20}c^{-30}$.

12) Для возведения дроби в степень, нужно возвести в эту степень и числитель, и знаменатель: $(\frac{x}{y})^n = \frac{x^n}{y^n}$.
$(\frac{a^{10}b^{-7}}{c^6d^{-14}})^{-2} = \frac{(a^{10}b^{-7})^{-2}}{(c^6d^{-14})^{-2}} = \frac{(a^{10})^{-2}(b^{-7})^{-2}}{(c^6)^{-2}(d^{-14})^{-2}}$
Применим правило возведения степени в степень:
$\frac{a^{10 \cdot (-2)}b^{-7 \cdot (-2)}}{c^{6 \cdot (-2)}d^{-14 \cdot (-2)}} = \frac{a^{-20}b^{14}}{c^{-12}d^{28}}$
Представим полученное выражение в виде произведения степеней, используя свойство $ \frac{1}{x^n} = x^{-n} $ и $ \frac{1}{x^{-n}} = x^n $:
$a^{-20}b^{14}c^{12}d^{-28}$.
Ответ: $a^{-20}b^{14}c^{12}d^{-28}$.

275. Представьте выражение в виде степени с основанием $a$ или произведения степеней с разными основаниями:

1) $a^6 \cdot a^{-10}$;

2) $a^4 : a^7$;

3) $a^{-5} : a^{-9}$;

4) $(a^{-2})^6$;

5) $(a^{-3}b^{-1}c^7)^{-4}$;

6) $(\frac{a^2}{bc^{-1}})^{-3}$;

7) $a^{-16} \cdot a^8 : a^{-4}$;

8) $(a^{-3})^8 : (a^{-1})^7 \cdot (a^{-7})^{-4}$.

1) Для того чтобы умножить степени с одинаковым основанием, нужно сложить их показатели.
$a^6 \cdot a^{-10} = a^{6 + (-10)} = a^{6-10} = a^{-4}$
Ответ: $a^{-4}$

2) Для того чтобы разделить степени с одинаковым основанием, нужно из показателя степени делимого вычесть показатель степени делителя.
$a^4 : a^7 = a^{4-7} = a^{-3}$
Ответ: $a^{-3}$

3) Используем то же правило деления степеней с одинаковым основанием.
$a^{-5} : a^{-9} = a^{-5 - (-9)} = a^{-5+9} = a^{4}$
Ответ: $a^4$

4) При возведении степени в степень их показатели перемножаются.
$(a^{-2})^6 = a^{-2 \cdot 6} = a^{-12}$
Ответ: $a^{-12}$

5) Чтобы возвести произведение в степень, нужно возвести в эту степень каждый множитель. При возведении степени в степень показатели перемножаются.
$(a^{-3}b^{-1}c^7)^{-4} = (a^{-3})^{-4} \cdot (b^{-1})^{-4} \cdot (c^7)^{-4} = a^{-3 \cdot (-4)} b^{-1 \cdot (-4)} c^{7 \cdot (-4)} = a^{12}b^4c^{-28}$
Ответ: $a^{12}b^4c^{-28}$

6) Чтобы возвести дробь в отрицательную степень, можно перевернуть дробь и возвести ее в положительную степень. Затем возводим в степень числитель и знаменатель по отдельности.
$(\frac{a^2}{bc^{-1}})^{-3} = (\frac{bc^{-1}}{a^2})^{3} = \frac{(bc^{-1})^3}{(a^2)^3} = \frac{b^{1 \cdot 3}c^{-1 \cdot 3}}{a^{2 \cdot 3}} = \frac{b^3c^{-3}}{a^6}$
Представим результат в виде произведения степеней:
$\frac{b^3c^{-3}}{a^6} = a^{-6}b^3c^{-3}$
Ответ: $a^{-6}b^3c^{-3}$

7) Выполняем действия по порядку слева направо, применяя правила умножения и деления степеней.
$a^{-16} \cdot a^8 : a^{-4} = a^{-16+8} : a^{-4} = a^{-8} : a^{-4} = a^{-8 - (-4)} = a^{-8+4} = a^{-4}$
Либо можно объединить все действия с показателями:
$a^{-16} \cdot a^8 : a^{-4} = a^{-16+8-(-4)} = a^{-16+8+4} = a^{-4}$
Ответ: $a^{-4}$

8) Сначала упрощаем каждый член выражения, используя правило возведения степени в степень. Затем выполняем деление и умножение слева направо.
$(a^{-3})^8 : (a^{-1})^7 \cdot (a^{-7})^{-4} = a^{-3 \cdot 8} : a^{-1 \cdot 7} \cdot a^{-7 \cdot (-4)} = a^{-24} : a^{-7} \cdot a^{28}$
Теперь выполняем действия с полученными степенями:
$a^{-24} : a^{-7} \cdot a^{28} = a^{-24 - (-7)} \cdot a^{28} = a^{-17} \cdot a^{28} = a^{-17+28} = a^{11}$
Либо объединяем показатели:
$a^{-24 - (-7) + 28} = a^{-24+7+28} = a^{11}$
Ответ: $a^{11}$

276. Найдите значение выражения:

1) $9^5 \cdot 9^{-7}$;

2) $10^{-8} \cdot 10^{12}$;

3) $3^{-18} : 3^{-21}$;

4) $2^{-9} \cdot 2^{-12} : 2^{-22}$;

5) $(17^4)^{-12} \cdot (17^{-6})^{-8}$;

6) $\frac{6^{-5} \cdot (6^{-3})^4}{(6^{-7})^2 \cdot 6^{-3}}$;

7) $3^{-3} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{-3}$;

8) $\frac{14^{-5}}{7^{-5}}$.

1) Для вычисления значения выражения $9^5 \cdot 9^{-7}$ воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
$9^5 \cdot 9^{-7} = 9^{5 + (-7)} = 9^{5-7} = 9^{-2}$.
Теперь используем определение степени с отрицательным показателем: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
$9^{-2} = \frac{1}{9^2} = \frac{1}{81}$.
Ответ: $\frac{1}{81}$.

2) Применяем свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
$10^{-8} \cdot 10^{12} = 10^{-8+12} = 10^4$.
$10^4 = 10000$.
Ответ: 10000.

3) Для деления степеней с одинаковым основанием используем правило: $a^m : a^n = a^{m-n}$.
$3^{-18} : 3^{-21} = 3^{-18 - (-21)} = 3^{-18+21} = 3^3$.
$3^3 = 27$.
Ответ: 27.

4) Выполним действия последовательно, используя свойства степеней.
Сначала умножение: $2^{-9} \cdot 2^{-12} = 2^{-9+(-12)} = 2^{-21}$.
Затем деление: $2^{-21} : 2^{-22} = 2^{-21 - (-22)} = 2^{-21+22} = 2^1 = 2$.
Ответ: 2.

5) Используем свойство возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
$(17^4)^{-12} = 17^{4 \cdot (-12)} = 17^{-48}$.
$(17^{-6})^{-8} = 17^{-6 \cdot (-8)} = 17^{48}$.
Теперь перемножим полученные результаты: $17^{-48} \cdot 17^{48} = 17^{-48+48} = 17^0 = 1$.
Ответ: 1.

6) Упростим выражение по частям. Сначала числитель, затем знаменатель.
Числитель: $6^{-5} \cdot (6^{-3})^4 = 6^{-5} \cdot 6^{-3 \cdot 4} = 6^{-5} \cdot 6^{-12} = 6^{-5-12} = 6^{-17}$.
Знаменатель: $(6^{-7})^2 \cdot 6^{-3} = 6^{-7 \cdot 2} \cdot 6^{-3} = 6^{-14} \cdot 6^{-3} = 6^{-14-3} = 6^{-17}$.
Теперь разделим числитель на знаменатель: $\frac{6^{-17}}{6^{-17}} = 6^{-17 - (-17)} = 6^0 = 1$.
Ответ: 1.

7) Используем свойство умножения степеней с одинаковым показателем: $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$.
$3^{-3} \cdot (\frac{2}{3})^{-3} = (3 \cdot \frac{2}{3})^{-3} = 2^{-3}$.
Используя определение степени с отрицательным показателем: $2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$.
Ответ: $\frac{1}{8}$.

8) Применим свойство деления степеней с одинаковым показателем: $\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n$.
$\frac{14^{-5}}{7^{-5}} = (\frac{14}{7})^{-5} = 2^{-5}$.
Вычисляем значение: $2^{-5} = \frac{1}{2^5} = \frac{1}{32}$.
Ответ: $\frac{1}{32}$.

277. Найдите значение выражения:

1) $6^{-9} \cdot 6^6;$

2) $7^{-16} : 7^{-18};$

3) $5^{-7} : 5^{-6} \cdot 5^3;$

4) $\frac{4^{-7} \cdot (4^{-5})^3}{(4^{-3})^7};$

5) $0,8^{-4} \cdot \left(1\frac{1}{4}\right)^{-4};$

6) $\frac{11^{-2}}{22^{-2}}.$

1) Для нахождения значения выражения $6^{-9} \cdot 6^6$ воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

$6^{-9} \cdot 6^6 = 6^{-9+6} = 6^{-3}$

Теперь воспользуемся определением степени с отрицательным показателем: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

$6^{-3} = \frac{1}{6^3} = \frac{1}{216}$

Ответ: $\frac{1}{216}$

2) Для нахождения значения выражения $7^{-16} : 7^{-18}$ воспользуемся свойством деления степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^n = a^{m-n}$.

$7^{-16} : 7^{-18} = 7^{-16 - (-18)} = 7^{-16+18} = 7^2 = 49$

Ответ: $49$

3) В выражении $5^{-7} : 5^{-6} \cdot 5^3$ выполним действия по порядку слева направо, используя свойства степеней.

Сначала выполним деление: $5^{-7} : 5^{-6} = 5^{-7 - (-6)} = 5^{-7+6} = 5^{-1}$.

Теперь выполним умножение: $5^{-1} \cdot 5^3 = 5^{-1+3} = 5^2 = 25$.

Ответ: $25$

4) Для упрощения дроби $\frac{4^{-7} \cdot (4^{-5})^3}{(4^{-3})^7}$ воспользуемся свойством возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

Упростим числитель: $4^{-7} \cdot (4^{-5})^3 = 4^{-7} \cdot 4^{-5 \cdot 3} = 4^{-7} \cdot 4^{-15} = 4^{-7+(-15)} = 4^{-22}$.

Упростим знаменатель: $(4^{-3})^7 = 4^{-3 \cdot 7} = 4^{-21}$.

Теперь разделим числитель на знаменатель: $\frac{4^{-22}}{4^{-21}} = 4^{-22 - (-21)} = 4^{-22+21} = 4^{-1} = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$

5) В выражении $0,8^{-4} \cdot (1 \frac{1}{4})^{-4}$ воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым показателем: $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$.

Сначала преобразуем десятичную дробь и смешанное число в обыкновенные дроби:

$0,8 = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$

$1 \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$

Подставим полученные дроби в выражение:

$(\frac{4}{5})^{-4} \cdot (\frac{5}{4})^{-4} = (\frac{4}{5} \cdot \frac{5}{4})^{-4} = 1^{-4} = 1$

Ответ: $1$

6) Для нахождения значения выражения $\frac{11^{-2}}{22^{-2}}$ воспользуемся свойством частного степеней с одинаковым показателем: $\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n$.

$\frac{11^{-2}}{22^{-2}} = (\frac{11}{22})^{-2}$

Сократим дробь в скобках: $\frac{11}{22} = \frac{1}{2}$.

Получаем: $(\frac{1}{2})^{-2}$.

Используем свойство $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$:

$(\frac{1}{2})^{-2} = (\frac{2}{1})^2 = 2^2 = 4$

Ответ: $4$

278. Упростите выражение:

1) $3a^{-3} \cdot 4a^{-4};$

2) $\frac{10b^{-4}}{15b^{-5}};$

3) $(2c^{-6})^4;$

4) $m^{-2}n \cdot mn^{-2};$

5) $abc^{-1} \cdot ab^{-1}c;$

6) $\frac{kp^{-6}}{k^4p^4};$

7) $(c^{-6}d^2)^{-7};$

8) $\frac{1}{3}a^{-3}b^{-6} \cdot \frac{6}{7}a^7b^4;$

9) $0,2c^{-3}d^5 \cdot 1,5c^{-2}d^{-5};$

10) $4x^8 \cdot (-3x^{-2}y^4)^{-2};$

11) $\frac{13m^{-10}}{12n^{-8}} \cdot \frac{27n}{26m^2};$

12) $\frac{18p^{-6}k^2}{7} : \frac{15k^{-2}}{p^6}.$

1) Чтобы упростить выражение $3a^{-3} \cdot 4a^{-4}$, сгруппируем числовые коэффициенты и переменные с их степенями отдельно: $(3 \cdot 4) \cdot (a^{-3} \cdot a^{-4})$. Перемножим коэффициенты: $3 \cdot 4 = 12$. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $a^{-3} \cdot a^{-4} = a^{-3 + (-4)} = a^{-7}$. Объединив результаты, получаем $12a^{-7}$.
Ответ: $12a^{-7}$

2) Для упрощения дроби $\frac{10b^{-4}}{15b^{-5}}$ разделим коэффициенты и переменные. Упростим дробь из коэффициентов: $\frac{10}{15} = \frac{2}{3}$. Для переменных применим правило деления степеней с одинаковым основанием (показатели вычитаются): $\frac{b^{-4}}{b^{-5}} = b^{-4 - (-5)} = b^{-4+5} = b^{1} = b$. Итоговый результат: $\frac{2}{3}b$.
Ответ: $\frac{2}{3}b$

3) Чтобы упростить выражение $(2c^{-6})^4$, нужно возвести в степень каждый множитель внутри скобок. Возводим в степень коэффициент: $2^4 = 16$. При возведении степени в степень их показатели перемножаются: $(c^{-6})^4 = c^{-6 \cdot 4} = c^{-24}$. Таким образом, выражение равно $16c^{-24}$.
Ответ: $16c^{-24}$

4) В выражении $m^{-2}n \cdot mn^{-2}$ сгруппируем степени с одинаковыми основаниями: $(m^{-2} \cdot m) \cdot (n \cdot n^{-2})$. Учитывая, что $m = m^1$ и $n = n^1$, сложим показатели степеней: $m^{-2+1} \cdot n^{1+(-2)} = m^{-1}n^{-1}$.
Ответ: $m^{-1}n^{-1}$

5) В выражении $abc^{-1} \cdot ab^{-1}c$ сгруппируем множители с одинаковыми основаниями: $(a \cdot a) \cdot (b \cdot b^{-1}) \cdot (c^{-1} \cdot c)$. Применим правило умножения степеней: $a^{1+1} \cdot b^{1+(-1)} \cdot c^{-1+1} = a^2 \cdot b^0 \cdot c^0$. Так как любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно 1, получаем $a^2 \cdot 1 \cdot 1 = a^2$.
Ответ: $a^2$

6) В дроби $\frac{kp^{-6}}{k^4p^4}$ применим правило деления степеней для каждой переменной, вычитая показатели: $k^{1-4} \cdot p^{-6-4} = k^{-3}p^{-10}$.
Ответ: $k^{-3}p^{-10}$

7) Для упрощения $(c^{-6}d^2)^{-7}$ возведем в степень $-7$ каждый множитель в скобках. При этом показатели степеней перемножаются: $(c^{-6})^{-7} \cdot (d^2)^{-7} = c^{(-6) \cdot (-7)} \cdot d^{2 \cdot (-7)} = c^{42}d^{-14}$.
Ответ: $c^{42}d^{-14}$

8) В выражении $\frac{1}{3}a^{-3}b^{-6} \cdot \frac{6}{7}a^7b^4$ перемножим отдельно коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями: $(\frac{1}{3} \cdot \frac{6}{7}) \cdot (a^{-3}a^7) \cdot (b^{-6}b^4)$. Произведение коэффициентов равно $\frac{6}{21} = \frac{2}{7}$. Сумма показателей для $a$ равна $-3+7=4$. Сумма показателей для $b$ равна $-6+4=-2$. Результат: $\frac{2}{7}a^4b^{-2}$.
Ответ: $\frac{2}{7}a^4b^{-2}$

9) В выражении $0,2c^{-3}d^5 \cdot 1,5c^{-2}d^{-5}$ перемножим коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями: $(0,2 \cdot 1,5) \cdot (c^{-3}c^{-2}) \cdot (d^5d^{-5})$. Произведение коэффициентов: $0,2 \cdot 1,5 = 0,3$. Сложим показатели степеней: $c^{-3+(-2)} = c^{-5}$ и $d^{5+(-5)} = d^0 = 1$. Итоговое выражение: $0,3c^{-5}$.
Ответ: $0,3c^{-5}$

10) В выражении $4x^8 \cdot (-3x^{-2}y^4)^{-2}$ сначала упростим второй множитель: $(-3x^{-2}y^4)^{-2} = (-3)^{-2} \cdot (x^{-2})^{-2} \cdot (y^4)^{-2} = \frac{1}{(-3)^2}x^4y^{-8} = \frac{1}{9}x^4y^{-8}$. Теперь умножим результат на первый множитель: $4x^8 \cdot \frac{1}{9}x^4y^{-8} = (4 \cdot \frac{1}{9}) \cdot (x^8x^4) \cdot y^{-8} = \frac{4}{9}x^{12}y^{-8}$.
Ответ: $\frac{4}{9}x^{12}y^{-8}$

11) Чтобы упростить $\frac{13m^{-10}}{12n^{-8}} \cdot \frac{27n}{26m^2}$, перемножим дроби, сгруппировав коэффициенты и переменные: $(\frac{13 \cdot 27}{12 \cdot 26}) \cdot (\frac{m^{-10}}{m^2}) \cdot (\frac{n^1}{n^{-8}})$. Сократим коэффициенты: $\frac{13 \cdot 27}{12 \cdot 26} = \frac{1 \cdot 9}{4 \cdot 2} = \frac{9}{8}$. Упростим переменные, используя правила для степеней: $m^{-10-2} = m^{-12}$ и $n^{1-(-8)} = n^9$. Результат: $\frac{9}{8}m^{-12}n^9$.
Ответ: $\frac{9}{8}m^{-12}n^9$

12) В выражении $\frac{18p^{-6}k^2}{7} : \frac{15k^{-2}}{p^6}$ заменим деление на умножение на обратную дробь: $\frac{18p^{-6}k^2}{7} \cdot \frac{p^6}{15k^{-2}}$. Перемножим дроби: $\frac{18p^{-6}k^2p^6}{7 \cdot 15k^{-2}}$. Сгруппируем коэффициенты и переменные: $(\frac{18}{7 \cdot 15}) \cdot (p^{-6}p^6) \cdot (\frac{k^2}{k^{-2}})$. Упростим коэффициенты: $\frac{18}{105} = \frac{6}{35}$. Упростим переменные: $p^{-6+6} = p^0 = 1$ и $k^{2-(-2)} = k^4$. Итоговый результат: $\frac{6}{35}k^4$.
Ответ: $\frac{6}{35}k^4$