Номер 1, страница 70 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. Параграф 9. Свойства степени с целым показателем. Глава 1. Рациональные выражения - номер 1, страница 70.

Условие.

Сформулируйте свойства степени с целым показателем.

Решение 2.

Решение 8.

Для любого действительного числа $a \neq 0$ и любых целых чисел $m$ и $n$ справедливы следующие свойства степени с целым показателем. Эти свойства являются обобщением свойств степени с натуральным показателем.

1. Степень с нулевым показателем

Степень любого числа, не равного нулю, с нулевым показателем равна единице. Это определение необходимо для целостности остальных свойств. Для любого $a \neq 0$:

$a^0 = 1$

Ответ: $a^0 = 1$

2. Степень с отрицательным целым показателем

Степень числа, не равного нулю, с отрицательным целым показателем $-n$ (где $n$ — натуральное число) равна числу, обратному степени того же числа с показателем $n$. Для любого $a \neq 0$ и натурального $n$:

$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$

Ответ: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$

3. Умножение степеней с одинаковым основанием

При умножении степеней с одинаковым основанием, основание оставляют прежним, а показатели степеней складывают. Для любого $a \neq 0$ и любых целых $m$ и $n$:

$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$

Ответ: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$

4. Деление степеней с одинаковым основанием

При делении степеней с одинаковым основанием, основание оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя. Для любого $a \neq 0$ и любых целых $m$ и $n$:

$a^m : a^n = \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$

Ответ: $a^m : a^n = a^{m-n}$

5. Возведение степени в степень

При возведении степени в степень, основание оставляют прежним, а показатели перемножают. Для любого $a \neq 0$ и любых целых $m$ и $n$:

$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$

Ответ: $(a^m)^n = a^{mn}$

6. Возведение в степень произведения

Чтобы возвести в степень произведение, нужно возвести в эту степень каждый множитель и результаты перемножить. Для любых $a \neq 0$, $b \neq 0$ и любого целого $n$:

$(ab)^n = a^n b^n$

Ответ: $(ab)^n = a^n b^n$

7. Возведение в степень частного (дроби)

Чтобы возвести в степень частное (дробь), нужно возвести в эту степень отдельно числитель и знаменатель, и первый результат разделить на второй. Для любых $a \neq 0$, $b \neq 0$ и любого целого $n$:

$(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$

Ответ: $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$