Номер 277, страница 70 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 9. Свойства степени с целым показателем. Упражнения - номер 277, страница 70.

Условие.

277. Найдите значение выражения:

1) $6^{-9} \cdot 6^6;$

2) $7^{-16} : 7^{-18};$

3) $5^{-7} : 5^{-6} \cdot 5^3;$

4) $\frac{4^{-7} \cdot (4^{-5})^3}{(4^{-3})^7};$

5) $0,8^{-4} \cdot \left(1\frac{1}{4}\right)^{-4};$

6) $\frac{11^{-2}}{22^{-2}}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для нахождения значения выражения $6^{-9} \cdot 6^6$ воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

$6^{-9} \cdot 6^6 = 6^{-9+6} = 6^{-3}$

Теперь воспользуемся определением степени с отрицательным показателем: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

$6^{-3} = \frac{1}{6^3} = \frac{1}{216}$

Ответ: $\frac{1}{216}$

2) Для нахождения значения выражения $7^{-16} : 7^{-18}$ воспользуемся свойством деления степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^n = a^{m-n}$.

$7^{-16} : 7^{-18} = 7^{-16 - (-18)} = 7^{-16+18} = 7^2 = 49$

Ответ: $49$

3) В выражении $5^{-7} : 5^{-6} \cdot 5^3$ выполним действия по порядку слева направо, используя свойства степеней.

Сначала выполним деление: $5^{-7} : 5^{-6} = 5^{-7 - (-6)} = 5^{-7+6} = 5^{-1}$.

Теперь выполним умножение: $5^{-1} \cdot 5^3 = 5^{-1+3} = 5^2 = 25$.

Ответ: $25$

4) Для упрощения дроби $\frac{4^{-7} \cdot (4^{-5})^3}{(4^{-3})^7}$ воспользуемся свойством возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

Упростим числитель: $4^{-7} \cdot (4^{-5})^3 = 4^{-7} \cdot 4^{-5 \cdot 3} = 4^{-7} \cdot 4^{-15} = 4^{-7+(-15)} = 4^{-22}$.

Упростим знаменатель: $(4^{-3})^7 = 4^{-3 \cdot 7} = 4^{-21}$.

Теперь разделим числитель на знаменатель: $\frac{4^{-22}}{4^{-21}} = 4^{-22 - (-21)} = 4^{-22+21} = 4^{-1} = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$

5) В выражении $0,8^{-4} \cdot (1 \frac{1}{4})^{-4}$ воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым показателем: $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$.

Сначала преобразуем десятичную дробь и смешанное число в обыкновенные дроби:

$0,8 = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$

$1 \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$

Подставим полученные дроби в выражение:

$(\frac{4}{5})^{-4} \cdot (\frac{5}{4})^{-4} = (\frac{4}{5} \cdot \frac{5}{4})^{-4} = 1^{-4} = 1$

Ответ: $1$

6) Для нахождения значения выражения $\frac{11^{-2}}{22^{-2}}$ воспользуемся свойством частного степеней с одинаковым показателем: $\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n$.

$\frac{11^{-2}}{22^{-2}} = (\frac{11}{22})^{-2}$

Сократим дробь в скобках: $\frac{11}{22} = \frac{1}{2}$.

Получаем: $(\frac{1}{2})^{-2}$.

Используем свойство $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$:

$(\frac{1}{2})^{-2} = (\frac{2}{1})^2 = 2^2 = 4$

Ответ: $4$