Номер 282, страница 71 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 9. Свойства степени с целым показателем. Упражнения - номер 282, страница 71.

Условие.

282. Выполните действия и приведите полученное выражение к виду, не содержащему степени с отрицательным показателем:

1) $-2,4a^{-4}b^3 \cdot (-2a^{-3}c^{-5})^{-3}$;

2) $(-10x^{-2}yz^{-8})^{-2} \cdot (0,1yz^{-4})^{-2}$;

3) $1\frac{7}{9}m^{-6}n \cdot (\frac{1}{3}m^{-1}n^{-4})^{-3}$;

4) $(-\frac{1}{6}a^{-3}b^{-6})^{-3} \cdot (-6a^2b^9)^{-2}$;

5) $(\frac{7p^{-3}}{5k^{-1}})^{-2} \cdot 49m^{-6}n^4$;

6) $(\frac{4x^{-5}}{3y^{-2}})^{-3} \cdot (16x^{-6}y^4)^2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для решения выражения $ -2,4a^{-4}b^3 \cdot (-2a^{-3}c^{-5})^{-3} $ сначала упростим второй множитель. Используем свойство $ (xyz)^n = x^n y^n z^n $ и $ (a^m)^n = a^{mn} $.
$ (-2a^{-3}c^{-5})^{-3} = (-2)^{-3} \cdot (a^{-3})^{-3} \cdot (c^{-5})^{-3} = \frac{1}{(-2)^3} \cdot a^{(-3)(-3)} \cdot c^{(-5)(-3)} = -\frac{1}{8}a^9c^{15} $.
Теперь умножим это на первый множитель:
$ -2,4a^{-4}b^3 \cdot (-\frac{1}{8}a^9c^{15}) = (-2,4 \cdot (-\frac{1}{8})) \cdot (a^{-4} \cdot a^9) \cdot b^3 \cdot c^{15} $.
Вычисляем произведение коэффициентов: $ -2,4 \cdot (-\frac{1}{8}) = \frac{12}{5} \cdot \frac{1}{8} = \frac{3}{10} = 0,3 $.
Умножаем степени с одинаковым основанием: $ a^{-4} \cdot a^9 = a^{-4+9} = a^5 $.
Собираем всё вместе:
$ 0,3a^5b^3c^{15} $.
Ответ: $ 0,3a^5b^3c^{15} $.

2) В выражении $ (-10x^{-2}yz^{-8})^{-2} \cdot (0,1yz^{-4})^{-2} $ можно применить свойство $ a^n \cdot b^n = (ab)^n $, так как показатели степеней одинаковы.
Сначала перемножим основания: $ (-10x^{-2}yz^{-8}) \cdot (0,1yz^{-4}) = (-10 \cdot 0,1) \cdot x^{-2} \cdot (y \cdot y) \cdot (z^{-8} \cdot z^{-4}) = -1 \cdot x^{-2}y^2z^{-12} = -x^{-2}y^2z^{-12} $.
Теперь возведем результат в степень -2:
$ (-x^{-2}y^2z^{-12})^{-2} = (-1)^{-2} \cdot (x^{-2})^{-2} \cdot (y^2)^{-2} \cdot (z^{-12})^{-2} = 1 \cdot x^4 \cdot y^{-4} \cdot z^{24} = x^4y^{-4}z^{24} $.
Чтобы избавиться от отрицательного показателя, используем свойство $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $:
$ x^4y^{-4}z^{24} = \frac{x^4z^{24}}{y^4} $.
Ответ: $ \frac{x^4z^{24}}{y^4} $.

3) Решим выражение $ 1\frac{7}{9}m^{-6}n \cdot (\frac{1}{3}m^{-1}n^{-4})^{-3} $.
Сначала преобразуем смешанную дробь в неправильную: $ 1\frac{7}{9} = \frac{16}{9} $.
Упростим второй множитель: $ (\frac{1}{3}m^{-1}n^{-4})^{-3} = (\frac{1}{3})^{-3} \cdot (m^{-1})^{-3} \cdot (n^{-4})^{-3} = 3^3 \cdot m^3 \cdot n^{12} = 27m^3n^{12} $.
Теперь выполним умножение:
$ \frac{16}{9}m^{-6}n \cdot 27m^3n^{12} = (\frac{16}{9} \cdot 27) \cdot (m^{-6}m^3) \cdot (n^1n^{12}) = (16 \cdot 3) \cdot m^{-6+3} \cdot n^{1+12} = 48m^{-3}n^{13} $.
Приводим выражение к виду без отрицательной степени:
$ 48m^{-3}n^{13} = \frac{48n^{13}}{m^3} $.
Ответ: $ \frac{48n^{13}}{m^3} $.

4) В выражении $ (-\frac{1}{6}a^{-3}b^{-6})^{-3} \cdot (-6a^2b^9)^{-2} $ упростим каждый множитель по отдельности.
Первый множитель: $ (-\frac{1}{6}a^{-3}b^{-6})^{-3} = (-\frac{1}{6})^{-3} \cdot (a^{-3})^{-3} \cdot (b^{-6})^{-3} = (-6)^3 \cdot a^9 \cdot b^{18} = -216a^9b^{18} $.
Второй множитель: $ (-6a^2b^9)^{-2} = (-6)^{-2} \cdot (a^2)^{-2} \cdot (b^9)^{-2} = \frac{1}{(-6)^2} \cdot a^{-4} \cdot b^{-18} = \frac{1}{36}a^{-4}b^{-18} $.
Перемножим полученные результаты:
$ -216a^9b^{18} \cdot \frac{1}{36}a^{-4}b^{-18} = (-\frac{216}{36}) \cdot (a^9a^{-4}) \cdot (b^{18}b^{-18}) = -6 \cdot a^{9-4} \cdot b^{18-18} = -6a^5b^0 = -6a^5 $ (так как $ b^0 = 1 $).
Ответ: $ -6a^5 $.

5) Упростим выражение $ (\frac{7p^{-3}}{5k^{-1}})^{-2} \cdot 49m^{-6}n^4 $.
Сначала преобразуем первый множитель, избавляясь от отрицательных степеней внутри скобок: $ \frac{7p^{-3}}{5k^{-1}} = \frac{7k^1}{5p^3} $.
Возведем в степень -2. Для этого перевернем дробь и возведем в степень 2:
$ (\frac{7k}{5p^3})^{-2} = (\frac{5p^3}{7k})^2 = \frac{(5p^3)^2}{(7k)^2} = \frac{25p^6}{49k^2} $.
Второй множитель приведем к виду без отрицательной степени: $ 49m^{-6}n^4 = \frac{49n^4}{m^6} $.
Выполним умножение:
$ \frac{25p^6}{49k^2} \cdot \frac{49n^4}{m^6} = \frac{25 \cdot 49 \cdot p^6n^4}{49 \cdot k^2m^6} $.
Сокращаем 49 и получаем окончательный вид:
$ \frac{25p^6n^4}{k^2m^6} $.
Ответ: $ \frac{25p^6n^4}{k^2m^6} $.

6) Решим выражение $ (\frac{4x^{-5}}{3y^{-2}})^{-3} \cdot (16x^{-6}y^4)^2 $.
Упростим первый множитель. Сначала избавимся от отрицательных степеней в числителе и знаменателе дроби: $ \frac{4x^{-5}}{3y^{-2}} = \frac{4y^2}{3x^5} $.
Возведем в степень -3: $ (\frac{4y^2}{3x^5})^{-3} = (\frac{3x^5}{4y^2})^3 = \frac{3^3(x^5)^3}{4^3(y^2)^3} = \frac{27x^{15}}{64y^6} $.
Упростим второй множитель: $ (16x^{-6}y^4)^2 = 16^2 \cdot (x^{-6})^2 \cdot (y^4)^2 = 256x^{-12}y^8 $.
Теперь перемножим полученные выражения:
$ \frac{27x^{15}}{64y^6} \cdot 256x^{-12}y^8 = \frac{27 \cdot 256}{64} \cdot \frac{x^{15}}{y^6} \cdot x^{-12}y^8 = (27 \cdot 4) \cdot x^{15-12} \cdot y^{8-6} = 108x^3y^2 $.
Ответ: $ 108x^3y^2 $.