Номер 289, страница 72 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 9. Свойства степени с целым показателем. Глава 1. Рациональные выражения - номер 289, страница 72.

Условие.

289. Упростите выражение:

1) $(a^{-4}+3)(a^{-4}-3)-(a^{-4}+2)^2;$

2) $\frac{m^{-2}-n^{-2}}{m^{-1}+n^{-1}};$

3) $\frac{2x^{-2}+y^{-2}}{3x^{-2}-3x^{-1}y^{-1}} \cdot \frac{x^{-1}}{x^{-1}-y^{-1}};$

4) $\frac{a^{-5}+b^{-5}}{a^{-6}} : \frac{a^{-3}b^{-5}+a^{-8}}{a^{-4}}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Исходное выражение: $(a^{-4} + 3)(a^{-4} - 3) - (a^{-4} + 2)^2$.
Для упрощения первой части $(a^{-4} + 3)(a^{-4} - 3)$ применим формулу разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$, где $x = a^{-4}$ и $y = 3$.
$(a^{-4})^2 - 3^2 = a^{-4 \cdot 2} - 9 = a^{-8} - 9$.
Вторую часть $(a^{-4} + 2)^2$ раскроем по формуле квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$, где $x = a^{-4}$ и $y = 2$.
$(a^{-4})^2 + 2 \cdot a^{-4} \cdot 2 + 2^2 = a^{-8} + 4a^{-4} + 4$.
Теперь подставим упрощенные части обратно в исходное выражение:
$(a^{-8} - 9) - (a^{-8} + 4a^{-4} + 4)$.
Раскроем скобки, меняя знаки второго многочлена на противоположные:
$a^{-8} - 9 - a^{-8} - 4a^{-4} - 4$.
Приведем подобные слагаемые:
$(a^{-8} - a^{-8}) - 4a^{-4} - 9 - 4 = 0 - 4a^{-4} - 13 = -4a^{-4} - 13$.
Ответ: $-4a^{-4} - 13$.

2) Исходное выражение: $\frac{m^{-2} - n^{-2}}{m^{-1} + n^{-1}}$.
Числитель дроби $m^{-2} - n^{-2}$ можно разложить на множители по формуле разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$. В данном случае $x = m^{-1}$ и $y = n^{-1}$, так как $m^{-2} = (m^{-1})^2$ и $n^{-2} = (n^{-1})^2$.
$m^{-2} - n^{-2} = (m^{-1} - n^{-1})(m^{-1} + n^{-1})$.
Подставим разложенный числитель обратно в дробь:
$\frac{(m^{-1} - n^{-1})(m^{-1} + n^{-1})}{m^{-1} + n^{-1}}$.
Сократим общий множитель $(m^{-1} + n^{-1})$ в числителе и знаменателе:
$m^{-1} - n^{-1}$.
Ответ: $m^{-1} - n^{-1}$.

3) Исходное выражение: $\frac{2x^{-2} + y^{-2}}{3x^{-2} - 3x^{-1}y^{-1}} - \frac{x^{-1}}{x^{-1} - y^{-1}}$.
Сначала упростим каждую дробь отдельно, используя свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
Первая дробь: $\frac{2x^{-2} + y^{-2}}{3x^{-2} - 3x^{-1}y^{-1}} = \frac{\frac{2}{x^2} + \frac{1}{y^2}}{\frac{3}{x^2} - \frac{3}{xy}} = \frac{\frac{2y^2 + x^2}{x^2y^2}}{\frac{3y - 3x}{x^2y}} = \frac{2y^2 + x^2}{x^2y^2} \cdot \frac{x^2y}{3(y - x)} = \frac{2y^2 + x^2}{3y(y - x)}$.
Вторая дробь: $\frac{x^{-1}}{x^{-1} - y^{-1}} = \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x} - \frac{1}{y}} = \frac{\frac{1}{x}}{\frac{y - x}{xy}} = \frac{1}{x} \cdot \frac{xy}{y - x} = \frac{y}{y - x}$.
Теперь выполним вычитание упрощенных дробей:
$\frac{2y^2 + x^2}{3y(y - x)} - \frac{y}{y - x}$.
Приведем дроби к общему знаменателю $3y(y - x)$, умножив числитель и знаменатель второй дроби на $3y$:
$\frac{2y^2 + x^2}{3y(y - x)} - \frac{y \cdot 3y}{3y(y - x)} = \frac{2y^2 + x^2 - 3y^2}{3y(y - x)} = \frac{x^2 - y^2}{3y(y - x)}$.
Разложим числитель по формуле разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.
$\frac{(x-y)(x+y)}{3y(y - x)}$.
Заметив, что $y - x = -(x - y)$, мы можем сократить дробь:
$\frac{(x-y)(x+y)}{-3y(x - y)} = \frac{x+y}{-3y} = -\frac{x+y}{3y}$.
Ответ: $-\frac{x+y}{3y}$.

4) Исходное выражение: $\frac{a^{-5} + b^{-5}}{a^{-6}} : \frac{a^{-3}b^{-5} + a^{-8}}{a^{-4}}$.
Заменим деление на умножение, перевернув вторую дробь:
$\frac{a^{-5} + b^{-5}}{a^{-6}} \cdot \frac{a^{-4}}{a^{-3}b^{-5} + a^{-8}}$.
Упростим знаменатель второй дроби, вынеся за скобки общий множитель. Заметим, что $a^{-8} = a^{-3} \cdot a^{-5}$.
$a^{-3}b^{-5} + a^{-8} = a^{-3}b^{-5} + a^{-3}a^{-5} = a^{-3}(b^{-5} + a^{-5})$.
Подставим это преобразование в наше выражение:
$\frac{a^{-5} + b^{-5}}{a^{-6}} \cdot \frac{a^{-4}}{a^{-3}(a^{-5} + b^{-5})}$.
Сократим общий множитель $(a^{-5} + b^{-5})$:
$\frac{1}{a^{-6}} \cdot \frac{a^{-4}}{a^{-3}} = \frac{a^{-4}}{a^{-6} \cdot a^{-3}}$.
Используя свойства степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, получаем:
$\frac{a^{-4}}{a^{-6 + (-3)}} = \frac{a^{-4}}{a^{-9}} = a^{-4 - (-9)} = a^{-4+9} = a^5$.
Ответ: $a^5$.