Номер 288, страница 72 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 9. Свойства степени с целым показателем. Глава 1. Рациональные выражения - номер 288, страница 72.

Условие.

288. Докажите тождество:

$a^{-8} - b^{-8} = (a^{-1} - b^{-1})(a^{-1} + b^{-1})(a^{-2} + b^{-2})(a^{-4} + b^{-4}).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Доказательство:

Для доказательства данного тождества преобразуем его правую часть, чтобы привести ее к виду левой части. Будем последовательно применять формулу разности квадратов: $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$.

Правая часть равенства:

$(a^{-1} - b^{-1})(a^{-1} + b^{-1})(a^{-2} + b^{-2})(a^{-4} + b^{-4})$

1. Сначала перемножим первые две скобки, используя формулу разности квадратов, где в качестве $x$ выступает $a^{-1}$, а в качестве $y$ - $b^{-1}$:

$(a^{-1} - b^{-1})(a^{-1} + b^{-1}) = (a^{-1})^2 - (b^{-1})^2 = a^{-2} - b^{-2}$

2. Подставим полученный результат обратно в выражение. Теперь оно принимает вид:

$(a^{-2} - b^{-2})(a^{-2} + b^{-2})(a^{-4} + b^{-4})$

3. Снова применяем формулу разности квадратов для первых двух скобок, где $x = a^{-2}$ и $y = b^{-2}$:

$(a^{-2} - b^{-2})(a^{-2} + b^{-2}) = (a^{-2})^2 - (b^{-2})^2 = a^{-4} - b^{-4}$

4. Выражение упрощается до:

$(a^{-4} - b^{-4})(a^{-4} + b^{-4})$

5. И в последний раз применяем ту же формулу, где $x = a^{-4}$ и $y = b^{-4}$:

$(a^{-4} - b^{-4})(a^{-4} + b^{-4}) = (a^{-4})^2 - (b^{-4})^2 = a^{-8} - b^{-8}$

В результате преобразований мы получили, что правая часть тождества равна его левой части:

$a^{-8} - b^{-8} = a^{-8} - b^{-8}$

Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано. Правая часть равенства была преобразована в левую путем трехкратного последовательного применения формулы разности квадратов.