Номер 283, страница 71 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 9. Свойства степени с целым показателем. Упражнения - номер 283, страница 71.

Условие.

283. Выполните действия и приведите полученное выражение к виду, не содержащему степени с отрицательным показателем:

1) $3,6a^{-8}b^4 \cdot (-3a^{-3}b^{-7})^{-2};$

2) $1\frac{9}{16}x^{-6}y^2 \cdot \left(1\frac{1}{4}x^{-1}y^{-3}\right)^{-3};$

3) $\left(\frac{5m^{-4}}{6n^{-1}}\right)^{-3} \cdot 125m^{-10}n^2;$

4) $\left(\frac{7a^{-6}}{b^5}\right)^{-2} \cdot (a^{-4}b)^4.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для решения выражения $3,6a^{-8}b^4 \cdot (-3a^{-3}b^{-7})^{-2}$ выполним следующие действия. Сначала упростим второй множитель, возведя его в степень $-2$:
$(-3a^{-3}b^{-7})^{-2} = (-3)^{-2} \cdot (a^{-3})^{-2} \cdot (b^{-7})^{-2} = \frac{1}{(-3)^2} \cdot a^{-3 \cdot (-2)} \cdot b^{-7 \cdot (-2)} = \frac{1}{9}a^6b^{14}$.
Теперь умножим результат на первый множитель:
$3,6a^{-8}b^4 \cdot \frac{1}{9}a^6b^{14}$.
Сгруппируем коэффициенты и переменные с одинаковыми основаниями:
$(3,6 \cdot \frac{1}{9}) \cdot (a^{-8} \cdot a^6) \cdot (b^4 \cdot b^{14})$.
Вычислим каждую группу:
$3,6 \cdot \frac{1}{9} = \frac{3,6}{9} = 0,4$.
$a^{-8} \cdot a^6 = a^{-8+6} = a^{-2}$.
$b^4 \cdot b^{14} = b^{4+14} = b^{18}$.
Соединим полученные части: $0,4a^{-2}b^{18}$.
Чтобы избавиться от отрицательной степени, используем свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:
$0,4a^{-2}b^{18} = 0,4 \cdot \frac{1}{a^2} \cdot b^{18} = \frac{0,4b^{18}}{a^2}$.
Ответ: $\frac{0,4b^{18}}{a^2}$

2) Для решения выражения $1\frac{9}{16}x^{-6}y^2 \cdot (1\frac{1}{4}x^{-1}y^{-3})^{-3}$ сначала преобразуем смешанные дроби в неправильные:
$1\frac{9}{16} = \frac{1 \cdot 16 + 9}{16} = \frac{25}{16}$.
$1\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{5}{4}$.
Выражение принимает вид: $\frac{25}{16}x^{-6}y^2 \cdot (\frac{5}{4}x^{-1}y^{-3})^{-3}$.
Теперь упростим второй множитель:
$(\frac{5}{4}x^{-1}y^{-3})^{-3} = (\frac{5}{4})^{-3} \cdot (x^{-1})^{-3} \cdot (y^{-3})^{-3} = (\frac{4}{5})^3 \cdot x^{-1 \cdot (-3)} \cdot y^{-3 \cdot (-3)} = \frac{4^3}{5^3}x^3y^9 = \frac{64}{125}x^3y^9$.
Умножим первый множитель на полученный результат:
$\frac{25}{16}x^{-6}y^2 \cdot \frac{64}{125}x^3y^9$.
Сгруппируем и вычислим:
$(\frac{25}{16} \cdot \frac{64}{125}) \cdot (x^{-6} \cdot x^3) \cdot (y^2 \cdot y^9) = \frac{25 \cdot 64}{16 \cdot 125} \cdot x^{-6+3} \cdot y^{2+9} = \frac{1 \cdot 4}{1 \cdot 5} \cdot x^{-3} \cdot y^{11} = \frac{4}{5}x^{-3}y^{11}$.
Избавимся от отрицательного показателя степени:
$\frac{4}{5}x^{-3}y^{11} = \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{x^3} \cdot y^{11} = \frac{4y^{11}}{5x^3}$.
Ответ: $\frac{4y^{11}}{5x^3}$

3) Для решения выражения $(\frac{5m^{-4}}{6n^{-1}})^{-3} \cdot 125m^{-10}n^2$ упростим первый множитель. Чтобы возвести дробь в отрицательную степень, нужно перевернуть дробь и поменять знак степени на противоположный:
$(\frac{5m^{-4}}{6n^{-1}})^{-3} = (\frac{6n^{-1}}{5m^{-4}})^3$.
Теперь избавимся от отрицательных степеней внутри скобок, переместив переменные из числителя в знаменатель и наоборот:
$(\frac{6m^4}{5n})^3 = \frac{6^3 \cdot (m^4)^3}{5^3 \cdot n^3} = \frac{216m^{12}}{125n^3}$.
Теперь умножим это выражение на второй множитель:
$\frac{216m^{12}}{125n^3} \cdot 125m^{-10}n^2$.
Представим второй множитель в виде дроби и сгруппируем:
$\frac{216m^{12}}{125n^3} \cdot \frac{125m^{-10}n^2}{1} = \frac{216 \cdot 125}{125} \cdot \frac{m^{12} \cdot m^{-10}}{n^3} \cdot n^2 = 216 \cdot m^{12-10} \cdot n^{2-3} = 216m^2n^{-1}$.
Приведем выражение к виду без отрицательных степеней:
$216m^2n^{-1} = \frac{216m^2}{n}$.
Ответ: $\frac{216m^2}{n}$

4) Для решения выражения $(\frac{7a^{-6}}{b^5})^{-2} \cdot (a^{-4}b)^4$ сначала поработаем с каждым множителем отдельно.
Упростим первый множитель:
$(\frac{7a^{-6}}{b^5})^{-2} = \frac{7^{-2} \cdot (a^{-6})^{-2}}{(b^5)^{-2}} = \frac{7^{-2}a^{12}}{b^{-10}} = \frac{a^{12}b^{10}}{7^2} = \frac{a^{12}b^{10}}{49}$.
Упростим второй множитель:
$(a^{-4}b)^4 = (a^{-4})^4 \cdot b^4 = a^{-16}b^4$.
Теперь перемножим полученные выражения:
$\frac{a^{12}b^{10}}{49} \cdot a^{-16}b^4$.
Сгруппируем переменные:
$\frac{1}{49} \cdot (a^{12} \cdot a^{-16}) \cdot (b^{10} \cdot b^4) = \frac{1}{49} \cdot a^{12-16} \cdot b^{10+4} = \frac{1}{49}a^{-4}b^{14}$.
Избавимся от отрицательной степени:
$\frac{1}{49}a^{-4}b^{14} = \frac{1}{49} \cdot \frac{1}{a^4} \cdot b^{14} = \frac{b^{14}}{49a^4}$.
Ответ: $\frac{b^{14}}{49a^4}$