Номер 280, страница 71 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 9. Свойства степени с целым показателем. Глава 1. Рациональные выражения - номер 280, страница 71.

Условие.

280. Найдите значение выражения:

1) $8^{-3} \cdot 2^7$;

2) $27^{-2} : 9^{-4}$;

3) $100^{-2} : 1000^{-5} \cdot 0,01^6$;

4) $\left(2\frac{1}{4}\right)^{-4} \cdot \left(\left(\frac{2}{3}\right)^3\right)^{-3}$;

5) $25^{-4} : (0,2^{-3})^{-2}$;

6) $\frac{(-36)^{-3} \cdot 6^8}{216^{-5} \cdot (-6)^{18}}$;

7) $\frac{6^{-10}}{81^{-2} \cdot 16^{-3}}$;

8) $\frac{14^5 \cdot 2^{-7}}{28^{-2} \cdot 7^8}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы найти значение выражения $8^{-3} \cdot 2^7$, представим число 8 как степень числа 2: $8 = 2^3$. Подставив это в выражение, получим: $(2^3)^{-3} \cdot 2^7$. Используем свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$: $2^{3 \cdot (-3)} \cdot 2^7 = 2^{-9} \cdot 2^7$. Далее, по свойству умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, складываем показатели: $2^{-9+7} = 2^{-2}$. Вычисляем итоговое значение: $2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$.

2) В выражении $27^{-2} : 9^{-4}$ представим основания 27 и 9 как степени числа 3: $27 = 3^3$ и $9 = 3^2$. Выражение принимает вид: $(3^3)^{-2} : (3^2)^{-4}$. Применяем свойство степени степени: $3^{-6} : 3^{-8}$. Используем свойство деления степеней с одинаковым основанием $a^m : a^n = a^{m-n}$: $3^{-6 - (-8)} = 3^{-6+8} = 3^2$. Вычисляем результат: $3^2 = 9$.
Ответ: $9$.

3) Рассмотрим выражение $100^{-2} : 1000^{-5} \cdot 0.01^6$. Представим все числа в виде степеней 10: $100 = 10^2$, $1000 = 10^3$, $0.01 = 10^{-2}$. Получаем: $(10^2)^{-2} : (10^3)^{-5} \cdot (10^{-2})^6 = 10^{-4} : 10^{-15} \cdot 10^{-12}$. Выполняем действия последовательно слева направо. Сначала деление: $10^{-4} : 10^{-15} = 10^{-4 - (-15)} = 10^{11}$. Затем умножение: $10^{11} \cdot 10^{-12} = 10^{11 + (-12)} = 10^{-1}$. Итоговый результат: $10^{-1} = 0.1$.
Ответ: $0.1$.

4) Упростим выражение $(2\frac{1}{4})^{-4} \cdot ((\frac{2}{3})^3)^{-3}$. Сначала преобразуем смешанную дробь в неправильную: $2\frac{1}{4} = \frac{9}{4}$. Выражение примет вид: $(\frac{9}{4})^{-4} \cdot ((\frac{2}{3})^3)^{-3}$. Применим свойства степеней: $(\frac{4}{9})^4 \cdot (\frac{2}{3})^{-9} = (\frac{4}{9})^4 \cdot (\frac{3}{2})^9$. Представим $\frac{4}{9}$ как $(\frac{2}{3})^2$: $((\frac{2}{3})^2)^4 \cdot (\frac{3}{2})^9 = (\frac{2}{3})^8 \cdot (\frac{3}{2})^9$. Раскроем скобки: $\frac{2^8}{3^8} \cdot \frac{3^9}{2^9}$. Сокращаем дроби, используя свойства степеней: $2^{8-9} \cdot 3^{9-8} = 2^{-1} \cdot 3^1 = \frac{1}{2} \cdot 3 = \frac{3}{2}$.
Ответ: $\frac{3}{2}$.

5) В выражении $25^{-4} : (0.2^{-3})^{-2}$ представим числа 25 и 0.2 как степени 5: $25=5^2$ и $0.2 = \frac{1}{5} = 5^{-1}$. Подставляем: $(5^2)^{-4} : ((5^{-1})^{-3})^{-2}$. Упрощаем, используя свойство степени степени: $5^{-8} : (5^3)^{-2} = 5^{-8} : 5^{-6}$. Выполняем деление: $5^{-8 - (-6)} = 5^{-8+6} = 5^{-2}$. Вычисляем: $5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}$.
Ответ: $\frac{1}{25}$.

6) Рассмотрим дробь $\frac{(-36)^{-3} \cdot 6^8}{216^{-5} \cdot (-6)^{18}}$. Представим все основания через степени числа 6: $-36 = -1 \cdot 6^2$, $216 = 6^3$. Так как показатель 18 четный, $(-6)^{18} = 6^{18}$. Подставляем в дробь: $\frac{(-1 \cdot 6^2)^{-3} \cdot 6^8}{(6^3)^{-5} \cdot 6^{18}} = \frac{(-1)^{-3} \cdot (6^2)^{-3} \cdot 6^8}{6^{-15} \cdot 6^{18}} = \frac{-1 \cdot 6^{-6} \cdot 6^8}{6^{-15+18}}$. Упрощаем числитель и знаменатель: $\frac{-6^{-6+8}}{6^3} = \frac{-6^2}{6^3}$. Сокращаем дробь: $-6^{2-3} = -6^{-1} = -\frac{1}{6}$.
Ответ: $-\frac{1}{6}$.

7) В дроби $\frac{6^{-10}}{81^{-2} \cdot 16^{-3}}$ разложим основания на простые множители: $6=2 \cdot 3$, $81=3^4$, $16=2^4$. Выражение принимает вид: $\frac{(2 \cdot 3)^{-10}}{(3^4)^{-2} \cdot (2^4)^{-3}} = \frac{2^{-10} \cdot 3^{-10}}{3^{-8} \cdot 2^{-12}}$. Группируем степени с одинаковыми основаниями и применяем свойство деления степеней: $\frac{2^{-10}}{2^{-12}} \cdot \frac{3^{-10}}{3^{-8}} = 2^{-10 - (-12)} \cdot 3^{-10 - (-8)} = 2^2 \cdot 3^{-2}$. Вычисляем результат: $4 \cdot \frac{1}{3^2} = 4 \cdot \frac{1}{9} = \frac{4}{9}$.
Ответ: $\frac{4}{9}$.

8) В дроби $\frac{14^5 \cdot 2^{-7}}{28^{-2} \cdot 7^8}$ разложим основания 14 и 28 на простые множители: $14=2 \cdot 7$, $28=2^2 \cdot 7$. Подставляем в выражение: $\frac{(2 \cdot 7)^5 \cdot 2^{-7}}{(2^2 \cdot 7)^{-2} \cdot 7^8} = \frac{2^5 \cdot 7^5 \cdot 2^{-7}}{2^{-4} \cdot 7^{-2} \cdot 7^8}$. Упрощаем числитель и знаменатель: $\frac{2^{5-7} \cdot 7^5}{2^{-4} \cdot 7^{-2+8}} = \frac{2^{-2} \cdot 7^5}{2^{-4} \cdot 7^6}$. Применяем свойство деления степеней: $2^{-2 - (-4)} \cdot 7^{5-6} = 2^2 \cdot 7^{-1}$. Вычисляем: $4 \cdot \frac{1}{7} = \frac{4}{7}$.
Ответ: $\frac{4}{7}$.