Номер 275, страница 70 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 9. Свойства степени с целым показателем. Глава 1. Рациональные выражения - номер 275, страница 70.

Условие.

275. Представьте выражение в виде степени с основанием $a$ или произведения степеней с разными основаниями:

1) $a^6 \cdot a^{-10}$;

2) $a^4 : a^7$;

3) $a^{-5} : a^{-9}$;

4) $(a^{-2})^6$;

5) $(a^{-3}b^{-1}c^7)^{-4}$;

6) $(\frac{a^2}{bc^{-1}})^{-3}$;

7) $a^{-16} \cdot a^8 : a^{-4}$;

8) $(a^{-3})^8 : (a^{-1})^7 \cdot (a^{-7})^{-4}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для того чтобы умножить степени с одинаковым основанием, нужно сложить их показатели.
$a^6 \cdot a^{-10} = a^{6 + (-10)} = a^{6-10} = a^{-4}$
Ответ: $a^{-4}$

2) Для того чтобы разделить степени с одинаковым основанием, нужно из показателя степени делимого вычесть показатель степени делителя.
$a^4 : a^7 = a^{4-7} = a^{-3}$
Ответ: $a^{-3}$

3) Используем то же правило деления степеней с одинаковым основанием.
$a^{-5} : a^{-9} = a^{-5 - (-9)} = a^{-5+9} = a^{4}$
Ответ: $a^4$

4) При возведении степени в степень их показатели перемножаются.
$(a^{-2})^6 = a^{-2 \cdot 6} = a^{-12}$
Ответ: $a^{-12}$

5) Чтобы возвести произведение в степень, нужно возвести в эту степень каждый множитель. При возведении степени в степень показатели перемножаются.
$(a^{-3}b^{-1}c^7)^{-4} = (a^{-3})^{-4} \cdot (b^{-1})^{-4} \cdot (c^7)^{-4} = a^{-3 \cdot (-4)} b^{-1 \cdot (-4)} c^{7 \cdot (-4)} = a^{12}b^4c^{-28}$
Ответ: $a^{12}b^4c^{-28}$

6) Чтобы возвести дробь в отрицательную степень, можно перевернуть дробь и возвести ее в положительную степень. Затем возводим в степень числитель и знаменатель по отдельности.
$(\frac{a^2}{bc^{-1}})^{-3} = (\frac{bc^{-1}}{a^2})^{3} = \frac{(bc^{-1})^3}{(a^2)^3} = \frac{b^{1 \cdot 3}c^{-1 \cdot 3}}{a^{2 \cdot 3}} = \frac{b^3c^{-3}}{a^6}$
Представим результат в виде произведения степеней:
$\frac{b^3c^{-3}}{a^6} = a^{-6}b^3c^{-3}$
Ответ: $a^{-6}b^3c^{-3}$

7) Выполняем действия по порядку слева направо, применяя правила умножения и деления степеней.
$a^{-16} \cdot a^8 : a^{-4} = a^{-16+8} : a^{-4} = a^{-8} : a^{-4} = a^{-8 - (-4)} = a^{-8+4} = a^{-4}$
Либо можно объединить все действия с показателями:
$a^{-16} \cdot a^8 : a^{-4} = a^{-16+8-(-4)} = a^{-16+8+4} = a^{-4}$
Ответ: $a^{-4}$

8) Сначала упрощаем каждый член выражения, используя правило возведения степени в степень. Затем выполняем деление и умножение слева направо.
$(a^{-3})^8 : (a^{-1})^7 \cdot (a^{-7})^{-4} = a^{-3 \cdot 8} : a^{-1 \cdot 7} \cdot a^{-7 \cdot (-4)} = a^{-24} : a^{-7} \cdot a^{28}$
Теперь выполняем действия с полученными степенями:
$a^{-24} : a^{-7} \cdot a^{28} = a^{-24 - (-7)} \cdot a^{28} = a^{-17} \cdot a^{28} = a^{-17+28} = a^{11}$
Либо объединяем показатели:
$a^{-24 - (-7) + 28} = a^{-24+7+28} = a^{11}$
Ответ: $a^{11}$