Номер 270, страница 67 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 8. Степень с целым отрицательным показателем. Упражнения - номер 270, страница 67.

Условие.

270. Представьте в виде степени с основанием $a$ выражение:

1) $a^7 \cdot a^5;$

2) $a^7 : a^5;$

3) $(a^7)^5;$

4) $\frac{(a^3)^6 \cdot a^4}{a^{16}}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для того чтобы представить произведение степеней с одинаковым основанием в виде одной степени, необходимо сложить их показатели. Это свойство степеней записывается формулой: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

Применим это свойство к данному выражению:

$a^7 \cdot a^5 = a^{7+5} = a^{12}$.

Ответ: $a^{12}$

2) Чтобы представить частное степеней с одинаковым основанием в виде одной степени, необходимо из показателя делимого вычесть показатель делителя. Свойство выглядит так: $a^m : a^n = a^{m-n}$.

Применим это свойство к данному выражению:

$a^7 : a^5 = a^{7-5} = a^2$.

Ответ: $a^2$

3) При возведении степени в степень основание остается тем же, а показатели перемножаются. Это свойство записывается формулой: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

Применим это свойство к данному выражению:

$(a^7)^5 = a^{7 \cdot 5} = a^{35}$.

Ответ: $a^{35}$

4) Для решения этого примера необходимо последовательно применить несколько свойств степеней.

Исходное выражение: $\frac{(a^3)^6 \cdot a^4}{a^{16}}$.

Шаг 1: Упростим числитель. Сначала возведем степень в степень, используя правило $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(a^3)^6 = a^{3 \cdot 6} = a^{18}$.

Шаг 2: Теперь числитель имеет вид $a^{18} \cdot a^4$. Умножим степени, используя правило $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$a^{18} \cdot a^4 = a^{18+4} = a^{22}$.

Шаг 3: Теперь все выражение выглядит как $\frac{a^{22}}{a^{16}}$. Выполним деление степеней, используя правило $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{a^{22}}{a^{16}} = a^{22-16} = a^6$.

Ответ: $a^6$