Номер 272, страница 67 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 8. Степень с целым отрицательным показателем. Упражнения - номер 272, страница 67.

Условие.

272. Найдите значение выражения:

1) $ \frac{3^{10} \cdot 27^3}{9^9} $;

2) $ \left(5 \frac{1}{3}\right)^7 \cdot \left(\frac{3}{16}\right)^8 $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы найти значение выражения $\frac{3^{10} \cdot 27^3}{9^9}$, представим числа 27 и 9 в виде степеней числа 3.
Поскольку $27 = 3^3$ и $9 = 3^2$, мы можем переписать выражение:
$\frac{3^{10} \cdot (3^3)^3}{(3^2)^9}$
Теперь воспользуемся свойством степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
В числителе: $(3^3)^3 = 3^{3 \cdot 3} = 3^9$
В знаменателе: $(3^2)^9 = 3^{2 \cdot 9} = 3^{18}$
Подставим полученные значения обратно в дробь:
$\frac{3^{10} \cdot 3^9}{3^{18}}$
Теперь используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ в числителе:
$3^{10} \cdot 3^9 = 3^{10+9} = 3^{19}$
Выражение принимает вид:
$\frac{3^{19}}{3^{18}}$
Наконец, применим свойство деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$3^{19-18} = 3^1 = 3$
Ответ: 3

2) Чтобы найти значение выражения $(5\frac{1}{3})^7 \cdot (\frac{3}{16})^8$, сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь:
$5\frac{1}{3} = \frac{5 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{16}{3}$
Теперь подставим это значение в исходное выражение:
$(\frac{16}{3})^7 \cdot (\frac{3}{16})^8$
Раскроем скобки, используя свойство $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$:
$\frac{16^7}{3^7} \cdot \frac{3^8}{16^8}$
Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями:
$\frac{16^7}{16^8} \cdot \frac{3^8}{3^7}$
Теперь применим свойство деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ для каждой дроби:
$16^{7-8} \cdot 3^{8-7} = 16^{-1} \cdot 3^1$
Используя свойство $a^{-1} = \frac{1}{a}$, получаем:
$\frac{1}{16} \cdot 3 = \frac{3}{16}$
Ответ: $\frac{3}{16}$