Номер 278, страница 70 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 1. Рациональные выражения. Параграф 9. Свойства степени с целым показателем. Упражнения - номер 278, страница 70.

Условие.

278. Упростите выражение:

1) $3a^{-3} \cdot 4a^{-4};$

2) $\frac{10b^{-4}}{15b^{-5}};$

3) $(2c^{-6})^4;$

4) $m^{-2}n \cdot mn^{-2};$

5) $abc^{-1} \cdot ab^{-1}c;$

6) $\frac{kp^{-6}}{k^4p^4};$

7) $(c^{-6}d^2)^{-7};$

8) $\frac{1}{3}a^{-3}b^{-6} \cdot \frac{6}{7}a^7b^4;$

9) $0,2c^{-3}d^5 \cdot 1,5c^{-2}d^{-5};$

10) $4x^8 \cdot (-3x^{-2}y^4)^{-2};$

11) $\frac{13m^{-10}}{12n^{-8}} \cdot \frac{27n}{26m^2};$

12) $\frac{18p^{-6}k^2}{7} : \frac{15k^{-2}}{p^6}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы упростить выражение $3a^{-3} \cdot 4a^{-4}$, сгруппируем числовые коэффициенты и переменные с их степенями отдельно: $(3 \cdot 4) \cdot (a^{-3} \cdot a^{-4})$. Перемножим коэффициенты: $3 \cdot 4 = 12$. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $a^{-3} \cdot a^{-4} = a^{-3 + (-4)} = a^{-7}$. Объединив результаты, получаем $12a^{-7}$.
Ответ: $12a^{-7}$

2) Для упрощения дроби $\frac{10b^{-4}}{15b^{-5}}$ разделим коэффициенты и переменные. Упростим дробь из коэффициентов: $\frac{10}{15} = \frac{2}{3}$. Для переменных применим правило деления степеней с одинаковым основанием (показатели вычитаются): $\frac{b^{-4}}{b^{-5}} = b^{-4 - (-5)} = b^{-4+5} = b^{1} = b$. Итоговый результат: $\frac{2}{3}b$.
Ответ: $\frac{2}{3}b$

3) Чтобы упростить выражение $(2c^{-6})^4$, нужно возвести в степень каждый множитель внутри скобок. Возводим в степень коэффициент: $2^4 = 16$. При возведении степени в степень их показатели перемножаются: $(c^{-6})^4 = c^{-6 \cdot 4} = c^{-24}$. Таким образом, выражение равно $16c^{-24}$.
Ответ: $16c^{-24}$

4) В выражении $m^{-2}n \cdot mn^{-2}$ сгруппируем степени с одинаковыми основаниями: $(m^{-2} \cdot m) \cdot (n \cdot n^{-2})$. Учитывая, что $m = m^1$ и $n = n^1$, сложим показатели степеней: $m^{-2+1} \cdot n^{1+(-2)} = m^{-1}n^{-1}$.
Ответ: $m^{-1}n^{-1}$

5) В выражении $abc^{-1} \cdot ab^{-1}c$ сгруппируем множители с одинаковыми основаниями: $(a \cdot a) \cdot (b \cdot b^{-1}) \cdot (c^{-1} \cdot c)$. Применим правило умножения степеней: $a^{1+1} \cdot b^{1+(-1)} \cdot c^{-1+1} = a^2 \cdot b^0 \cdot c^0$. Так как любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно 1, получаем $a^2 \cdot 1 \cdot 1 = a^2$.
Ответ: $a^2$

6) В дроби $\frac{kp^{-6}}{k^4p^4}$ применим правило деления степеней для каждой переменной, вычитая показатели: $k^{1-4} \cdot p^{-6-4} = k^{-3}p^{-10}$.
Ответ: $k^{-3}p^{-10}$

7) Для упрощения $(c^{-6}d^2)^{-7}$ возведем в степень $-7$ каждый множитель в скобках. При этом показатели степеней перемножаются: $(c^{-6})^{-7} \cdot (d^2)^{-7} = c^{(-6) \cdot (-7)} \cdot d^{2 \cdot (-7)} = c^{42}d^{-14}$.
Ответ: $c^{42}d^{-14}$

8) В выражении $\frac{1}{3}a^{-3}b^{-6} \cdot \frac{6}{7}a^7b^4$ перемножим отдельно коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями: $(\frac{1}{3} \cdot \frac{6}{7}) \cdot (a^{-3}a^7) \cdot (b^{-6}b^4)$. Произведение коэффициентов равно $\frac{6}{21} = \frac{2}{7}$. Сумма показателей для $a$ равна $-3+7=4$. Сумма показателей для $b$ равна $-6+4=-2$. Результат: $\frac{2}{7}a^4b^{-2}$.
Ответ: $\frac{2}{7}a^4b^{-2}$

9) В выражении $0,2c^{-3}d^5 \cdot 1,5c^{-2}d^{-5}$ перемножим коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями: $(0,2 \cdot 1,5) \cdot (c^{-3}c^{-2}) \cdot (d^5d^{-5})$. Произведение коэффициентов: $0,2 \cdot 1,5 = 0,3$. Сложим показатели степеней: $c^{-3+(-2)} = c^{-5}$ и $d^{5+(-5)} = d^0 = 1$. Итоговое выражение: $0,3c^{-5}$.
Ответ: $0,3c^{-5}$

10) В выражении $4x^8 \cdot (-3x^{-2}y^4)^{-2}$ сначала упростим второй множитель: $(-3x^{-2}y^4)^{-2} = (-3)^{-2} \cdot (x^{-2})^{-2} \cdot (y^4)^{-2} = \frac{1}{(-3)^2}x^4y^{-8} = \frac{1}{9}x^4y^{-8}$. Теперь умножим результат на первый множитель: $4x^8 \cdot \frac{1}{9}x^4y^{-8} = (4 \cdot \frac{1}{9}) \cdot (x^8x^4) \cdot y^{-8} = \frac{4}{9}x^{12}y^{-8}$.
Ответ: $\frac{4}{9}x^{12}y^{-8}$

11) Чтобы упростить $\frac{13m^{-10}}{12n^{-8}} \cdot \frac{27n}{26m^2}$, перемножим дроби, сгруппировав коэффициенты и переменные: $(\frac{13 \cdot 27}{12 \cdot 26}) \cdot (\frac{m^{-10}}{m^2}) \cdot (\frac{n^1}{n^{-8}})$. Сократим коэффициенты: $\frac{13 \cdot 27}{12 \cdot 26} = \frac{1 \cdot 9}{4 \cdot 2} = \frac{9}{8}$. Упростим переменные, используя правила для степеней: $m^{-10-2} = m^{-12}$ и $n^{1-(-8)} = n^9$. Результат: $\frac{9}{8}m^{-12}n^9$.
Ответ: $\frac{9}{8}m^{-12}n^9$

12) В выражении $\frac{18p^{-6}k^2}{7} : \frac{15k^{-2}}{p^6}$ заменим деление на умножение на обратную дробь: $\frac{18p^{-6}k^2}{7} \cdot \frac{p^6}{15k^{-2}}$. Перемножим дроби: $\frac{18p^{-6}k^2p^6}{7 \cdot 15k^{-2}}$. Сгруппируем коэффициенты и переменные: $(\frac{18}{7 \cdot 15}) \cdot (p^{-6}p^6) \cdot (\frac{k^2}{k^{-2}})$. Упростим коэффициенты: $\frac{18}{105} = \frac{6}{35}$. Упростим переменные: $p^{-6+6} = p^0 = 1$ и $k^{2-(-2)} = k^4$. Итоговый результат: $\frac{6}{35}k^4$.
Ответ: $\frac{6}{35}k^4$